Relazione tra funzioni e insiemi
ciao a Tutti,
Io avrei un problema sugli insiemi e le funzioni. Non riesco però proprio a capire come dimostrarlo.
Vi chiedo qualsiasi aiuto, anche libri e link dove posso studiarlo.
Il problema è il seguente:
Siano $A$,$C$ due insiemi, $f:A->C$ una funzione
Per $L\subseteq A$ si definisca $f(L)={f(x):x \in L}$;
Per $M\subseteq C$ si definisca $f^{-1}(M)={x\inA:f(x) \in M}$;
1) Si mostri che se $L$, $M \subseteq A$, allora $f(L \cup M) = f(L) \cup f(M)$, e $f(L \cap M) \subseteq
f(L)\cap f(M)$, ma si produca un esempio in cui $f(L\cap M)$ è un sottoinsieme
proprio di $f(L) \cap f(M)$.
2) Si mostri che $L, M \subseteq C$, allora $f^{−1}(L \cup M) = f^{−1}(L) \cup f^{−1}(M)$, e
$f^{−1}(L\cap M) = f^{−1}(L) \cap f^{−1}(M)$.
3) Si consideri la relazione su $A$ data da $aRb \iff f(a) = f(b)$. Si mostri che se $L \subseteq A$, allora
$f^{−1}(f(L)) = { x \in A : xRb \text{ per qualche b} ∈ L }$.
4) Se $L \subseteq A$, si mostri che $L \subseteq f^{−1}(f(L))$, e che se $f$ è iniettiva, allora vale
l’eguaglianza.
Io sono nuovo in tutto questo, ho provato con i punti 1 e 2 ma non sono sicuro di quello che ho fatto. Poi negli altri punti mi sono fermato.
Vi ringrazio fin da ora.
Diedro
Io avrei un problema sugli insiemi e le funzioni. Non riesco però proprio a capire come dimostrarlo.
Vi chiedo qualsiasi aiuto, anche libri e link dove posso studiarlo.
Il problema è il seguente:
Siano $A$,$C$ due insiemi, $f:A->C$ una funzione
Per $L\subseteq A$ si definisca $f(L)={f(x):x \in L}$;
Per $M\subseteq C$ si definisca $f^{-1}(M)={x\inA:f(x) \in M}$;
1) Si mostri che se $L$, $M \subseteq A$, allora $f(L \cup M) = f(L) \cup f(M)$, e $f(L \cap M) \subseteq
f(L)\cap f(M)$, ma si produca un esempio in cui $f(L\cap M)$ è un sottoinsieme
proprio di $f(L) \cap f(M)$.
2) Si mostri che $L, M \subseteq C$, allora $f^{−1}(L \cup M) = f^{−1}(L) \cup f^{−1}(M)$, e
$f^{−1}(L\cap M) = f^{−1}(L) \cap f^{−1}(M)$.
3) Si consideri la relazione su $A$ data da $aRb \iff f(a) = f(b)$. Si mostri che se $L \subseteq A$, allora
$f^{−1}(f(L)) = { x \in A : xRb \text{ per qualche b} ∈ L }$.
4) Se $L \subseteq A$, si mostri che $L \subseteq f^{−1}(f(L))$, e che se $f$ è iniettiva, allora vale
l’eguaglianza.
Io sono nuovo in tutto questo, ho provato con i punti 1 e 2 ma non sono sicuro di quello che ho fatto. Poi negli altri punti mi sono fermato.
Vi ringrazio fin da ora.
Diedro
Risposte
Innanzitutto se \( L \subseteq A \), l'insieme \( f(L) \) si chiama immagine di \( L \) mediante \( f \). Se \( M \subseteq C \), l'insieme \( f^{-1}(M) \) si chiama antiimmagine di \( M \) mediante \( f \) e la notazione \( f^{-1} \) non va, almeno in questa sede, confusa con la notazione \( f^{-1} \) che si usa per la funzione inversa: infatti alcuni preferiscono denotare l'antiimmagine con \( f^{\leftarrow} \).
Posto ciò direi di iniziare con l'esercizio 1.
Le uguaglianze tra insiemi si dimostrano di solito provando che l'insieme di sinistra è un sottoinsieme dell'insieme di destra e che l'insieme di destra è a sua volta un sottoinsieme dell'insieme di sinistra: ergo, volendo provare che \( f(L \cup M) = f(L) \cup f(M) \), occorre provare che \( f(L \cup M) \subseteq f(L) \cup f(M) \) e che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \).
Per provare che \( f( L \cup M ) \subseteq f(L) \cup f(M) \) si deve provare che se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \). Come si fa? Usando la definizione di unione e la definizione di immagine mediante \( f \). Ovvero:
• se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora, per la definizione di immagine, \( x \in L \cup M \);
• se \( x \in L \cup M \), allora, per la definizione di unione, \( x \in L \) oppure (in senso inclusivo e non esclusivo) \( x \in M \);
• se \( x \in L \), allora, per la definizione di immagine mediante \( f \), sia che \( f(x) \in f(L) \) e se \( x \in M \), allora, per lo stesso motivo, si ha \( f(x) \in f(M) \);
• dunque \( f(x) \in f(L) \) oppure \( f(x) \in f(M) \), sicché, per la definizione di unione, \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \);
• quindi se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \), i.e. \( f(L \cup M) \subseteq f(L) \cup f(M) \).
Adesso per provare che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \) si deve provare che se \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \), allora...
Continua tu.
Posto ciò direi di iniziare con l'esercizio 1.
Le uguaglianze tra insiemi si dimostrano di solito provando che l'insieme di sinistra è un sottoinsieme dell'insieme di destra e che l'insieme di destra è a sua volta un sottoinsieme dell'insieme di sinistra: ergo, volendo provare che \( f(L \cup M) = f(L) \cup f(M) \), occorre provare che \( f(L \cup M) \subseteq f(L) \cup f(M) \) e che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \).
Per provare che \( f( L \cup M ) \subseteq f(L) \cup f(M) \) si deve provare che se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \). Come si fa? Usando la definizione di unione e la definizione di immagine mediante \( f \). Ovvero:
• se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora, per la definizione di immagine, \( x \in L \cup M \);
• se \( x \in L \cup M \), allora, per la definizione di unione, \( x \in L \) oppure (in senso inclusivo e non esclusivo) \( x \in M \);
• se \( x \in L \), allora, per la definizione di immagine mediante \( f \), sia che \( f(x) \in f(L) \) e se \( x \in M \), allora, per lo stesso motivo, si ha \( f(x) \in f(M) \);
• dunque \( f(x) \in f(L) \) oppure \( f(x) \in f(M) \), sicché, per la definizione di unione, \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \);
• quindi se \( f(x) \in f(L \cup M) \), allora \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \), i.e. \( f(L \cup M) \subseteq f(L) \cup f(M) \).
Adesso per provare che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \) si deve provare che se \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \), allora...
Continua tu.
Ci provo...
Voglio verificare se $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) $;
se $f(x)\in f(L)$ allora $x \in L$, o se $f(x)\in f(M)$ allora $x \in M$;
Per definizione di unione $x \in L$ o $x \in M$ (o inclusivo, credo "v") ;
Allora $f(x) \in f(L \cup M)$.
Questo vuol dire che $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$.
Unendo la prima parte ottengo che $f(L) \cup f(M) = f(L \cup M)$
Per la seconda parte, $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, vedo che funziona solo in un verso. Provo a dimostrarla:
Se $f(x) \in f(L \cap M)$ allora $x \in L \cap M$
Se $x \in L$ e $x \in M$, dalla definizione di unione, vuol dire che $f(x) \in f(L) \cap f(M)$
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$.
Ora devo mostrare un caso in cui $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$ non sia vera per finire la dimostrazione?
Cosa si intende per sottoinsieme proprio, non capisco cosa intenda l'esercizio.
Mi dareste un aiuto anche con il punto due? vedo che in questo caso in entrambi i casi, sia con l'unione che con l'intersezione, ho delle eguaglianze. E' legato al fatto che ho un' antiimmagine?
Grazie grazie di cuore
Voglio verificare se $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) $;
se $f(x)\in f(L)$ allora $x \in L$, o se $f(x)\in f(M)$ allora $x \in M$;
Per definizione di unione $x \in L$ o $x \in M$ (o inclusivo, credo "v") ;
Allora $f(x) \in f(L \cup M)$.
Questo vuol dire che $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$.
Unendo la prima parte ottengo che $f(L) \cup f(M) = f(L \cup M)$
Per la seconda parte, $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, vedo che funziona solo in un verso. Provo a dimostrarla:
Se $f(x) \in f(L \cap M)$ allora $x \in L \cap M$
Se $x \in L$ e $x \in M$, dalla definizione di unione, vuol dire che $f(x) \in f(L) \cap f(M)$
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$.
Ora devo mostrare un caso in cui $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$ non sia vera per finire la dimostrazione?
Cosa si intende per sottoinsieme proprio, non capisco cosa intenda l'esercizio.
Mi dareste un aiuto anche con il punto due? vedo che in questo caso in entrambi i casi, sia con l'unione che con l'intersezione, ho delle eguaglianze. E' legato al fatto che ho un' antiimmagine?
Grazie grazie di cuore
Allora. Solo alcune piccole correzioni di forma ma la sostanza l'hai colta:
Quanto all'ultima parte:
No: se riuscissi a mostrare un caso in cui non è vero che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \), significherebbe allora che la prima dimostrazione che hai fatto tu è sbagliata e quindi significherebbe che la prima uguaglianza (i.e. \( f(L \cup M) = f(L) \cup f(M) \)) è sbagliata. Ma è invece è giusta. Inoltre la traccia ti chiede esplicitamente di fornire un esempio a proposito dell'intersezione, non dell'unione: devi fornire un esempio in cui risulta che \( f(L \cap M) \) è un sottoinsieme proprio di \( f(L) \cap f(M) \), cioè devi fornire un esempio in cui \( f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M) \), concordemente con la tua seconda dimostrazione, e \( f(L \cap M) \neq f(L) \cap f(M) \): qui abbiamo parlato proprio pochi giorni fa della differenza tra sottoinsieme e sottoinsieme proprio.
Per "produrre/fornire un esempio" si intende che devi inventarti o citare una funzione che abbia la caratteristica richiesta.
Completato il primo esercizio passeremo al secondo.
"diedro":
Ci provo...
Voglio verificare se $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) $;
Se \( f(x) \in f(L) \cup f(M) \), allora \( f(x) \in f(L) \) oppure \( f(x) \in f(M) \)
se $f(x)\in f(L)$ allora $x \in L$, o se $f(x)\in f(M)$ allora $x \in M$;
Quindi \( x \in L \lor x \in M \)[nota]Si sta semplicemente riscrivendo il rigo di sopra usando il connettivo \( \lor \).[/nota]
Per definizione di unione, \( x \in L \cup M \);
Allora $f(x) \in f(L \cup M)$.
Questo vuol dire che $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$.
Unendo la prima parte ottengo che $f(L) \cup f(M) = f(L \cup M)$
"diedro":
Per la seconda parte, $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, vedo che funziona solo in un verso. Provo a dimostrarla:
Se $f(x) \in f(L \cap M)$ allora $x \in L \cap M$
Se \( x \in L \cap M \), allora, per la definizione di intersezione, \( x \in L \) e \( x \in M \)[nota]Volendo anche qui usare il simbolo del connettivo logico anziché la congiunzione "e", il simbolo è \( \land \).[/nota].
Se \( x \in L \), allora, per la definizione di immagine, \( f(x) \in f(L) \).
Se \( x \in M \), allora, per la definizione di immagine, \( f(x) \in f(M) \).
Se \( f(x) \in f(L) \) e \( f(x) \in f(M) \), dalla definizione di intersezione, vuol dire che \( f(x) \in f(L) \cap f(M) \)
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$.
Quanto all'ultima parte:
"diedro":
Ora devo mostrare un caso in cui $f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M)$ non sia vera per finire la dimostrazione?
Cosa si intende per sottoinsieme proprio, non capisco cosa intenda l'esercizio.
No: se riuscissi a mostrare un caso in cui non è vero che \( f(L) \cup f(M) \subseteq f(L \cup M) \), significherebbe allora che la prima dimostrazione che hai fatto tu è sbagliata e quindi significherebbe che la prima uguaglianza (i.e. \( f(L \cup M) = f(L) \cup f(M) \)) è sbagliata. Ma è invece è giusta. Inoltre la traccia ti chiede esplicitamente di fornire un esempio a proposito dell'intersezione, non dell'unione: devi fornire un esempio in cui risulta che \( f(L \cap M) \) è un sottoinsieme proprio di \( f(L) \cap f(M) \), cioè devi fornire un esempio in cui \( f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M) \), concordemente con la tua seconda dimostrazione, e \( f(L \cap M) \neq f(L) \cap f(M) \): qui abbiamo parlato proprio pochi giorni fa della differenza tra sottoinsieme e sottoinsieme proprio.
Per "produrre/fornire un esempio" si intende che devi inventarti o citare una funzione che abbia la caratteristica richiesta.
Completato il primo esercizio passeremo al secondo.
ciao,
intanto ti ringrazio tantissimo, sto veramente imparando molto.
Riprovo a dimostrare la seconda parte, per vedere se ho capito bene.
Devo dimostrare che $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$;
Se $f(x) \in f(L \cap M) \Rightarrow x \in L \cap M$ $ \Rightarrow x \in L \wedge x \in M$, per la definizione di intersezione.
Se $x\in L \Rightarrow f(x) \in f(L)$, per la definizione di immagine.
Se $x\in M \Rightarrow f(x) \in f(M)$, per la definizione di immagine.
Se $ f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \cap f(M)$.
Quindi $ f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M) $.
Ora provo a dimostrare il contrario (non vero), per capire se ho capito. Poi metto il controesempio.
Devo dimostrare che $f(L) \cap f(M) \subseteq f(L \cap M)$;
Se $f(x)\in f(L) \cap f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) $.
In realtà, qui seguendo il ragionamento, arriverei in fondo, quindi credo di aver capito male.
Perché se considero il seguente controesempio:
Dati gli insiemi $L={0,1,2,3}$, $M={-3,-2,-1,0}$ e la funzione $f(x)=x^2$, ho:
$f(L)={0,1,4,9}$ e $f(M)={0,1,4,9}$.
Quindi $f(L) \cap f(M)={0,1,4,9}$.
Se invece considero $L \cap M = {0}$, ho $f(L \cap M)={0}$.
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, ma non viceversa.
Spero quindi di capire, per poi andare avanti con il punto due, perché in quel caso ho in entrambi i casi un'ugualianza, ma credo che dipenda tutto dal fatto che ho una funzione che lavora con antiimmagine.
Ancora grazie 1000 e di cuore.
intanto ti ringrazio tantissimo, sto veramente imparando molto.
Riprovo a dimostrare la seconda parte, per vedere se ho capito bene.
Devo dimostrare che $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$;
Se $f(x) \in f(L \cap M) \Rightarrow x \in L \cap M$ $ \Rightarrow x \in L \wedge x \in M$, per la definizione di intersezione.
Se $x\in L \Rightarrow f(x) \in f(L)$, per la definizione di immagine.
Se $x\in M \Rightarrow f(x) \in f(M)$, per la definizione di immagine.
Se $ f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \cap f(M)$.
Quindi $ f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M) $.
Ora provo a dimostrare il contrario (non vero), per capire se ho capito. Poi metto il controesempio.
Devo dimostrare che $f(L) \cap f(M) \subseteq f(L \cap M)$;
Se $f(x)\in f(L) \cap f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) $.
In realtà, qui seguendo il ragionamento, arriverei in fondo, quindi credo di aver capito male.
Perché se considero il seguente controesempio:
Dati gli insiemi $L={0,1,2,3}$, $M={-3,-2,-1,0}$ e la funzione $f(x)=x^2$, ho:
$f(L)={0,1,4,9}$ e $f(M)={0,1,4,9}$.
Quindi $f(L) \cap f(M)={0,1,4,9}$.
Se invece considero $L \cap M = {0}$, ho $f(L \cap M)={0}$.
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, ma non viceversa.
Spero quindi di capire, per poi andare avanti con il punto due, perché in quel caso ho in entrambi i casi un'ugualianza, ma credo che dipenda tutto dal fatto che ho una funzione che lavora con antiimmagine.
Ancora grazie 1000 e di cuore.
"diedro":
Devo dimostrare che $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$;
Se $f(x) \in f(L \cap M) \Rightarrow x \in L \cap M$ $ \Rightarrow x \in L \wedge x \in M$, per la definizione di intersezione.
Se $x\in L \Rightarrow f(x) \in f(L)$, per la definizione di immagine.
Se $x\in M \Rightarrow f(x) \in f(M)$, per la definizione di immagine.
Se $ f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \cap f(M)$.
Quindi $ f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M) $.
OK. Solo una cosa: nel primo "se", il primo \( \implies \) è dovuto alla definizione di immagine mediante \( f \), solo il secondo \( \implies \) è dovuto alla definizione di intersezione.
"diedro":
Ora provo a dimostrare il contrario (non vero), per capire se ho capito. Poi metto il controesempio.
Devo dimostrare che $f(L) \cap f(M) \subseteq f(L \cap M)$;
Se $f(x)\in f(L) \cap f(M) \Rightarrow f(x) \in f(L) \wedge f(x) \in f(M) $.
In realtà, qui seguendo il ragionamento, arriverei in fondo, quindi credo di aver capito male.
Il \( \implies \) è corretto ed è dovuto alla definizione di intersezione: qui alcunché da eccepire.
Il punto è che in verità il ragionamento non può continuare, quindi non puoi arrivare in fondo.
Perché il ragionamento non possa continuare lo si intuisce dal controesempio corretto che hai fornito.
"diedro":
Perché se considero il seguente controesempio:
Dati gli insiemi $L={0,1,2,3}$, $M={-3,-2,-1,0}$ e la funzione $f(x)=x^2$, ho:
$f(L)={0,1,4,9}$ e $f(M)={0,1,4,9}$.
Quindi $f(L) \cap f(M)={0,1,4,9}$.
Se invece considero $L \cap M = {0}$, ho $f(L \cap M)={0}$.
Quindi $f(L \cap M) \subseteq f(L) \cap f(M)$, ma non viceversa.
La chiave è nell'iniettività della funzione: dal controesempio che hai fornito si vede che se la funzione \( f \) non è iniettiva, allora ci sono due (o più) elementi distinti \( x_{1} \) e \( x_{2} \), di cui il primo appartenete a \( L \) ed il secondo a \( M \), tali per cui \( f(x_{1}) = f(x_{2}) \) (e poniamo \( y = f(x_{1}) = f(x_{2}) \)), il che comporta che \( f(x_{1}) \) e \( f(x_{2}) \) stanno entrambi in \( f(L) \cap f(M) \), ma poiché \( x_{1} \neq x_{2} \), allora \( x_{1} \) e \( x_{2} \) non stanno in \( L \cap M \), sicché, se non c'è un qualche \( x_{3} \in L \cap M \) tale che \( f(x_{3}) = y \), allora \( y \notin f(L \cap M) \). Ecco perché il ragionamento non può continuare: da \( f(x) \in f(L) \) e \( f(x) \in f(M) \) si trae che \( x \in L \) e \( x \in M \), ma se la funzione non è iniettiva la \( x \) che sta in \( L \) potrebbe essere diversa dalla \( x \) che sta in \( M \) e quindi non si può dedurre che \( x \in L \cap M \). Attenzione però che se la non iniettività della funzione non è dovuta al fatto che essa è costante, allora \( f(L) \cap f(M) \subseteq f(L \cap M) \) vale e vale quindi l'uguaglianza: in tal caso infatti qualunque sia il sottoinsieme del dominio della funzione, diciamo \( X \), si ha che \( f(X) = \{ k \} \) dove \( k \) è la costante.
"diedro":
Spero quindi di capire, per poi andare avanti con il punto due, perché in quel caso ho in entrambi i casi un'ugualianza, ma credo che dipenda tutto dal fatto che ho una funzione che lavora con antiimmagine.
Sicuramente sì: il fatto che valga l'uguaglianza dipende dal fatto che si lavora solo con l'antiimmagine.
"diedro":
Ancora grazie 1000 e di cuore.
Questo forum serve a questo.
ciao,
ora provo a fare il punto due.
Devo dimostrare che $L,M \subseteq C$, allora $f^{\leftarrow}(L \cup M) = f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M)$.
Qui essendoci l'unione potrei ripetere il punto 1.
Devo dimostrare che $L,M \subseteq C$, allora $f^{\leftarrow}(L \cap M) = f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M)$.
Se $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \Rightarrow y \in L \cap M $;
Se $ y \in L \cap M \Rightarrow y \in L \wedge y \in M$;
Se $y \in L \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L)$ e se $y \in M \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(M)$;
Quindi $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M)$.
Provo a dimostrare $f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cap M)$:
Se $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \wedge f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(M)$;
Essendo $y$ immagine di $f$, ho che per $f$ diverse ho $y$ diverse, quindi ho che l'antiinversa è iniettiva.
Ora $ f^{\leftarrow}(L) = {f^{\leftarrow}(y) : y \in L}$ e $ f^{\leftarrow}(M) = {f^{\leftarrow}(y) : y \in M}$;
Quindi, $y \in L \wedge y \in M$ cioè $f(x) \in L \wedge f(x) \in M$;
Quindi, per definizione di intersezione $f(x) \in L \cap M$, cioè $y \in L \cap M$;
Quindi $f^{\leftarrow}(y) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cap M)$;
Spero di aver capito, perchè poi nel punto tre è fondamentale questa inversa. Potresti dirmi se è tutto coretto e spiegarmi il punto 3 o darmi qualche aiuto per cominciare sulla strada giusta?
Dietro al forum ci sono delle persone eccezionali, siete fantastici. Mi state\stai aiutando moltissimo in questa mia avventura che magari più avanti vi racconto.
Ancora grazie
ora provo a fare il punto due.
Devo dimostrare che $L,M \subseteq C$, allora $f^{\leftarrow}(L \cup M) = f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M)$.
Qui essendoci l'unione potrei ripetere il punto 1.
Devo dimostrare che $L,M \subseteq C$, allora $f^{\leftarrow}(L \cap M) = f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M)$.
Se $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \Rightarrow y \in L \cap M $;
Se $ y \in L \cap M \Rightarrow y \in L \wedge y \in M$;
Se $y \in L \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L)$ e se $y \in M \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(M)$;
Quindi $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M)$.
Provo a dimostrare $f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cap M)$:
Se $f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \Rightarrow f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L) \wedge f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(M)$;
Essendo $y$ immagine di $f$, ho che per $f$ diverse ho $y$ diverse, quindi ho che l'antiinversa è iniettiva.
Ora $ f^{\leftarrow}(L) = {f^{\leftarrow}(y) : y \in L}$ e $ f^{\leftarrow}(M) = {f^{\leftarrow}(y) : y \in M}$;
Quindi, $y \in L \wedge y \in M$ cioè $f(x) \in L \wedge f(x) \in M$;
Quindi, per definizione di intersezione $f(x) \in L \cap M$, cioè $y \in L \cap M$;
Quindi $f^{\leftarrow}(y) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cap M)$;
Spero di aver capito, perchè poi nel punto tre è fondamentale questa inversa. Potresti dirmi se è tutto coretto e spiegarmi il punto 3 o darmi qualche aiuto per cominciare sulla strada giusta?
Questo forum serve a questo.
Dietro al forum ci sono delle persone eccezionali, siete fantastici. Mi state\stai aiutando moltissimo in questa mia avventura che magari più avanti vi racconto.
Ancora grazie
L'esercizio 2 prevede di dimostrare due uguaglianze:
(a) \( f^{\leftarrow}(L \cup M) = f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \)
(b) \( f^{\leftarrow}(L \cap M) = f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \)
Per quanto riguarda la (a) scrivi:
Giusto: prima si dimostra che \( f^{\leftarrow}(L \cup M) \subseteq f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \), poi si dimostra che \( f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cup M) \).
Per quanto riguarda la (b) hai colto il senso e si capisce che hai colto il senso però scritta così è scritta male per una serie di motivi:
• \( f^{\leftarrow}(y) \) è un abuso di notazione: niente di grave, lo commettono tutti, innanzitutto e soprattutto perché di solito l'antiimmagine si denota con la stessa simbologia dell'inversa (i.e. \( f^{-1}(\cdot) \)[nota]Qui ed in generale altrove, quando maneggiando una qualunque funzione \( f \) si scrive \( f(\cdot) \) si intende che al posto di quel punto centrato ci va quello che ti pare purché ci possa andare: è un modo per risparmiarsi di scrivere l'argomento[/nota]), tuttavia stando la definizione di antiimmagine, quella scrittura, volendo essere rigorosi, non ha senso e si dovrebbe invece scrivere \( f^{\leftarrow}(\{y\}) \);
• per definizione \( f^{\leftarrow}(\cdot) \) è un sottoinsieme del dominio della funzione, quindi sia \( f^{\leftarrow}(y) \) (concesso l'abuso di notazione) sia \( f^{\leftarrow}(L \cap M) \) sono sottoinsiemi del dominio di \( f \) e quindi non possono appartenere l'uno all'altro, per cui \( f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \) non va bene;
• per quanto al punto precedente la dimostrazione dovrebbe iniziare con "Se \( x \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \), allora \( f(x) \in L \cap M \);
• \( f^{\leftarrow}(\cdot) \) non è affatto detto che debba essere iniettiva;
• "antiinversa" non mi pare che sia usato come termine: poiché inoltre richiama il concetto di inversa (che in vero è collegabile al concetto di antiimmagine ma suppongo che questo lo vedrai più avanti nel tuo corso), direi di evitarlo.
Quindi prova a riscriverla ed inizia questa volta con la dimostrazione della (a), per esercizio.
(a) \( f^{\leftarrow}(L \cup M) = f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \)
(b) \( f^{\leftarrow}(L \cap M) = f^{\leftarrow}(L) \cap f^{\leftarrow}(M) \)
Per quanto riguarda la (a) scrivi:
"diedro":
Qui essendoci l'unione potrei ripetere il punto 1.
Giusto: prima si dimostra che \( f^{\leftarrow}(L \cup M) \subseteq f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \), poi si dimostra che \( f^{\leftarrow}(L) \cup f^{\leftarrow}(M) \subseteq f^{\leftarrow}(L \cup M) \).
Per quanto riguarda la (b) hai colto il senso e si capisce che hai colto il senso però scritta così è scritta male per una serie di motivi:
• \( f^{\leftarrow}(y) \) è un abuso di notazione: niente di grave, lo commettono tutti, innanzitutto e soprattutto perché di solito l'antiimmagine si denota con la stessa simbologia dell'inversa (i.e. \( f^{-1}(\cdot) \)[nota]Qui ed in generale altrove, quando maneggiando una qualunque funzione \( f \) si scrive \( f(\cdot) \) si intende che al posto di quel punto centrato ci va quello che ti pare purché ci possa andare: è un modo per risparmiarsi di scrivere l'argomento[/nota]), tuttavia stando la definizione di antiimmagine, quella scrittura, volendo essere rigorosi, non ha senso e si dovrebbe invece scrivere \( f^{\leftarrow}(\{y\}) \);
• per definizione \( f^{\leftarrow}(\cdot) \) è un sottoinsieme del dominio della funzione, quindi sia \( f^{\leftarrow}(y) \) (concesso l'abuso di notazione) sia \( f^{\leftarrow}(L \cap M) \) sono sottoinsiemi del dominio di \( f \) e quindi non possono appartenere l'uno all'altro, per cui \( f^{\leftarrow}(y) \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \) non va bene;
• per quanto al punto precedente la dimostrazione dovrebbe iniziare con "Se \( x \in f^{\leftarrow}(L \cap M) \), allora \( f(x) \in L \cap M \);
• \( f^{\leftarrow}(\cdot) \) non è affatto detto che debba essere iniettiva;
• "antiinversa" non mi pare che sia usato come termine: poiché inoltre richiama il concetto di inversa (che in vero è collegabile al concetto di antiimmagine ma suppongo che questo lo vedrai più avanti nel tuo corso), direi di evitarlo.
Quindi prova a riscriverla ed inizia questa volta con la dimostrazione della (a), per esercizio.
$ f(x)\in L \cap M \Rightarrow f(x) \in L \wedge f(x) \in M $Parte (a)
(Per semplicità di scrittura userò f^{-1}, come da test dell'esercizio)
Voglio dimostrare che $f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Se $x \in f^{-1}(L \cup M) \Rightarrow f{x} \in (L \cup M)$, perché ho definito $f^{-1}(\cdot)={x:f(x) \in L}$.
Se $f(x)\in L \cup M \Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$.
$\Rightarrow f(x) \in f(L) \cup f(M)$.
$\Rightarrow x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Quindi $ f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) $.
Ora voglio dimostrare $f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $.
Se $x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \Rightarrow x \in f^{-1}(L) \vee x \in f^{-1}(M)$;
$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$;
$\Rightarrow f(x) \in L \cup M$;
$ x \in f^{-1}(L \cup M)$;
Quindi $ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $
Unendo prima e seconda parte ho $f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$
Punto (b)
Voglio dimostrare che $f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$.
Se $x \in f^{-1}(L \cap M) \Rightarrow f{x} \in (L \cap M)$, perché ho definito $f^{-1}(\cdot)={x:f(x) \in L}$.
Se $f(x)\in L \cap M \Rightarrow f(x) \in L \wedge f(x) \in M$.
$\Rightarrow f(x) \in f(L) \cap f(M)$.
$\Rightarrow x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$.
Quindi $ f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) $.
Ora voglio dimostrare $f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) $.
Se $x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \Rightarrow x \in f^{-1}(L) \wedge x \in f^{-1}(M)$;
$\Rightarrow f(x) \in L \wedge f(x) \in M$;
$\Rightarrow f(x) \in L \cap M$;
$ x \in f^{-1}(L \cap M)$;
Quindi $ f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) $
Unendo prima e seconda parte ho $f^{-1}(L \cap M) = f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$
"$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$" è il passaggio chiave, a differenza del primo esercizio posso farlo perché sto lavorando con le immagini. Mi piacerebbe visualizzarmele meglio in testa, ma ora mi è chiaro questo.
Veramente ancora grazie di cuore.
Diego
(Per semplicità di scrittura userò f^{-1}, come da test dell'esercizio)
Voglio dimostrare che $f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Se $x \in f^{-1}(L \cup M) \Rightarrow f{x} \in (L \cup M)$, perché ho definito $f^{-1}(\cdot)={x:f(x) \in L}$.
Se $f(x)\in L \cup M \Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$.
$\Rightarrow f(x) \in f(L) \cup f(M)$.
$\Rightarrow x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Quindi $ f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) $.
Ora voglio dimostrare $f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $.
Se $x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \Rightarrow x \in f^{-1}(L) \vee x \in f^{-1}(M)$;
$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$;
$\Rightarrow f(x) \in L \cup M$;
$ x \in f^{-1}(L \cup M)$;
Quindi $ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $
Unendo prima e seconda parte ho $f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$
Punto (b)
Voglio dimostrare che $f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$.
Se $x \in f^{-1}(L \cap M) \Rightarrow f{x} \in (L \cap M)$, perché ho definito $f^{-1}(\cdot)={x:f(x) \in L}$.
Se $f(x)\in L \cap M \Rightarrow f(x) \in L \wedge f(x) \in M$.
$\Rightarrow f(x) \in f(L) \cap f(M)$.
$\Rightarrow x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$.
Quindi $ f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) $.
Ora voglio dimostrare $f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) $.
Se $x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \Rightarrow x \in f^{-1}(L) \wedge x \in f^{-1}(M)$;
$\Rightarrow f(x) \in L \wedge f(x) \in M$;
$\Rightarrow f(x) \in L \cap M$;
$ x \in f^{-1}(L \cap M)$;
Quindi $ f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) $
Unendo prima e seconda parte ho $f^{-1}(L \cap M) = f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M)$
"$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$" è il passaggio chiave, a differenza del primo esercizio posso farlo perché sto lavorando con le immagini. Mi piacerebbe visualizzarmele meglio in testa, ma ora mi è chiaro questo.
Veramente ancora grazie di cuore.
Diego
Posso continiare
con il punto 3) e 4)?
Grazie Ancora
con il punto 3) e 4)?
Grazie Ancora
OK: in generale va bene. Ci sono solo da sistemare alcune cose.
Il simbolo \( \implies \) è un connettivo logico, detto di solito condizionale o implicazione: date due proposizioni \( P \) e \( Q \), il condizionale le lega formando la proposizione \( P \implies Q \), da leggere come "\( P \) implica \( Q \)" oppure come "se \( P \), allora \( Q \)", dove \( P \) è detto antecedente e \( Q \) è detto conseguente. A rigore di notazione, ne segue allora che o si usa il simbolo \( \implies \) e non si usano né "se... allora" né "implica", oppure si usa "se... allora" o "implica" e non si usa il simbolo \( \implies \). Per coerenza di notazione, essendo anche \( \land \) e \( \lor \) due connettivi, se si decide di usare \( \implies \), allora si usano \( \lor \) e \( \land \), se invece si decide di usare "se... allora" oppure "implica", si usano allora "e" e "o/oppure".
La notazione \( f(\cdot) \) si usa sì per risparmiarsi di scrivere l'argomento della funzione ma non nel senso che se non si ha voglia di scrivere l'argomento della funzione, allora si piazza il punto: se è questo ciò che ho fatto intendere, allora mi sono spiegato male e me ne scuso. Dati sue insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, una funzione di \( S \) in \( T \) si indica di solito con la notazione \( f \colon S \to T \), dove \( f \) è il nome/simbolo della funzione; dato \( x \in S \), l'elemento \( f(x) \) di \( T \) è il corrispondente o immagine[nota]Attenzione a non confondere questo concetto di immagine con il concetto di immagine mediante \( f \) di un sottoinsieme del dominio della funzione.[/nota] di \( x \) mediante \( f \). Dunque dato un elemento \( x \) del dominio, per scriverne la generica immagine mediante la funzione \( f \), in generale si deve riutilizzare il nome/simbolo della funzione e la \( x \), posta tra parentesi dopo il nome/simbolo della funzione, si dice che fa da argomento. Bene: ci sono alcune funzioni che hanno nomi/simboli particolari, per esempio la funzione norma: il simbolo della funzione, in questo caso \( \| \cdot \| \), si ottiene dalla particolare e specifica notazione per l'immagine del generico elemento \( x \) del dominio, in questo caso \( \| x \| \), "cancellando" l'elemento del dominio stesso e mettendo al suo posto il punto centrato. Quindi, partendo dal simbolo della funzione norma, quando si sostituisce al punto centrato un elemento del dominio si da un argomento alla funzione e quindi ci si riferisce all'immagine dell'argomento; risparmiandosi di scrivere l'argomento e sostituendolo con il punto centrato si da un nome/simbolo alla funzione e ci si riferisce ad essa più che all'immagine dell'elemento del dominio. Non so se rendo l'idea. In ogni caso colpa mia: mi sono espresso male.
Posto ciò, iniziamo dal punto (a): \( f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \). E segnatamente iniziamo dalla prima inclusione:
C'è da:
• correggere l'uso del condizionale e della notazione puntata: questo non è un errore di ragionamento, quanto piuttosto una questione di uniformità e di correttezza di notazione;
• rimuovere la quarta riga perché \( L \) e \( M \) sono adesso sottoinsiemi del condominio, quindi non può proprio essere né \( f(L) \) né \( f(M) \): questo è proprio un errore;
• aggiungere due righe tra la terza e la ex quinta riga: si deve infatti passare da \( f(x) \) della terza riga a \( x \) della ex quinta riga e questa è un'omissione che si potrebbe anche considerare passabile.
E allora si riscrive tutto come:
Passiamo all'inclusione contraria:
Qui va meglio: volendo, ci sono da adottare gli stessi aggiustamenti di forma di cui sopra ma non c'è l'errore commesso in precedenza. Quindi, volendo, si può riscrivere così:
In definitiva per quanto riguarda \( f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \) l'unico vero errore è stato l'uso di \( f(L) \) e \( f(M) \) nella dimostrazione della prima inclusione, per il resto sono cavilli di forma che, se vuoi e il tuo docente non ci tiene più di tanto, puoi anche ignorare, almeno in prima istanza: li ho comunque riportati visto che ci tieni a fare bene.
Passiamo adesso al punto (b): \( f^{-1}(L \cap M) = f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \).
Ci sono da correggere le stesse cose a proposito del punto (a): nella dimostrazione della prima inclusione ci sarebbero da uniformare le notazioni, ci sarebbe da sistemare l'omissione e c'è da correggere l'errore rappresentato dall'uso di \( f(L) \) e \( f(M) \). Si potrebbe quindi riscrivere la dimostrazione così:
Per quanto riguarda l'inclusione contraria, come per l'inclusione contraria di cui al punto (a), non ci sono questa volta veri errori ma solo accorgimenti di forma, quindi, volendo, la dimostrazione dell'inclusione contraria si può riscrivere così:
Ciò detto, concludiamo a proposito della differenza tra l'esercizio 1 e questo esercizio.
Innanzitutto il passaggio chiave non riguarda la disgiunzione inclusiva ma la congiunzione, perché la differenza tra i due esercizi non riguarda l'unione (sia con le immagini di parti del dominio che con le antiimmagini di parti del codominio vale l'uguaglianza) ma riguarda l'intersezione: con le intersezioni delle immagini di parti del dominio non vale l'uguaglianza mentre invece con l'intersezione delle antiimmagini di parti del codominio vale l'uguaglianza.
Per chiarire questo punto ripuliamo un attimo le notazioni:
• siano allora \( S \) e \( T \) due insiemi non vuoti;
• siano \( X_{1} \) e \( X_{2} \) due sottoinsiemi di \( S \);
• siano \( Y_{1} \) e \( Y_{2} \) due sottoinsiemi di \( T \);
• sia \( f : S \to T \) un'applicazione qualunque di \( S \) in \( T \) (non facciamo cioè al momento ipotesi sulla sua iniettività);
• siano \( f(X_{1}) \) e \( f(X_{2}) \) le immagini di \( X_{1} \) e \( X_{2} \) come sopra definite, i.e. \( f(X_{1}) = \{ f(x) \mid x \in X_{1} \} \) e \( f(X_{2}) = \{ f(x) \mid x \in X_{2} \} \));
• siano \( f^{-1}(Y_{1}) \) e \( f(Y_{2}) \) le antiimmagini di \( Y_{1} \) e \( Y_{2} \) come sopra definite, i.e. \( f^{-1}(Y_{1}) = \{ x \in S \mid f(x) \in Y_{1} \} \) e \( f^{-1}(Y_{2}) = \{ x \in S \mid f(x) \in Y_{2} \} \).
Nel caso dell'intersezione tra le immagini di parti del dominio si è detto che non sempre vale \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \), lo si è mostrato con un esempio e si è detto che, concordemente, non è possibile dimostrare che vale \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \), perché provando a far partire la dimostrazione si ha che:
• da \( f(x) \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue \( f(x) \in f(X_{1}) \land f(x) \in f(X_{2}) \) per la definizione di intersezione;
• da \( f(x) \in f(X_{1}) \) segue \( x \in X_{1} \) per la definizione di immagine;
• da \( f(x) \in f(X_{2}) \) segue \( x \in X_{2} \) per la definizione di immagine;
ma, se la funzione non è iniettiva, non è detto che si tratti della stessa \( x \), quindi non si può scrivere \( x \in X_{1} \land x \in X_{2} \) per poi trarre (in base alla definizione di intersezione) \( x \in X_{1} \cap X_{2} \) e concludere la dimostrazione.
Applicando la non-dimostrazione all'esempio che tu stesso hai fatto si vede bene l'intoppo:
• \( S = T = \mathbb{R} \);
• \( f \) manda \( x \) in \( x^{2} \);
• \( X_{1} = \{0,1,2,3\} \), \( X_{2}=\{-3,-2,-1,0\} \) e \( X_{1} \cap X_{2} = \{0\} \);
• \( f(X_{1})=\{0,1,4,9\} \), \( f(X_{2})=\{0,1,4,9\} \), \( f(X_{1} \cap X_{2}) = \{0\} \) e \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) = \{0,1,4,9\} \);
• \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \not\subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \)
ed infatti "eseguendo" la non-dimostrazione per esempio con \( 4 \) si ha che da \( 4 \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue correttamente \( 4 \in f(X_{1}) \land 4 \in f(X_{2}) \) ma mentre da \( 4 \in f(X_{1}) \) segue \( 2 \in X_{1} \), da \( 4 \in f(X_{2}) \) segue \( -2 \in X_{2} \), quindi si potrebbe anche scrivere \( 2 \in X_{1} \land -2 \in X_{2} \) ma sarebbe fine a sé stesso perché poi non si potrebbe poi scrivere altro, essendo \( -2 \neq 2 \).
Fa eccezione il caso delle funzioni costanti: per queste, seppur non iniettive, soddisfano la doppia inclusione (e quindi l'uguaglianza) semplicemente perché qualunque sottoinsieme non vuoto del dominio si prenda, l'immagine di questo sottoinsieme è il singleton che contiene la costante.
Nel caso dell'intersezione tra le antiimmagini di parti del codominio la doppia inclusione invece funziona perché partendo da sottoinsiemi del codominio e lavorando a ritroso su questi per mezzo delle loro antiimmagini, si ottengono i sottoinsiemi del dominio che contengono tutte le \( x \) che hanno per immagini gli elementi dei sottoinsiemi del codominio considerati. E nella dimostrazione si inizia a lavorare sugli elementi del dominio, per ciascuno dei quali esiste uno ed un solo corrispondente, per mezzo della definizione stessa di funzione. La cosa dovrebbe divenire chiara riutilizzando l'esempio di cui sopra:
• \( Y_{1} = \{ 0,1,4,9 \} \), \( Y_{2} = \{ 0,4,16,25 \} \) e \( Y_{1} \cap Y_{2} = \{ 0,4 \} \);
• \( f^{-1}(Y_{1})= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 \} \), \( f^{-1}(Y_{2}) = \{ 0, \pm 2, \pm 4, \pm 5 \} \), \( f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) = \{0, \pm 2 \} \) e \( f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) = \{ 0, \pm 2 \} \);
• \( f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) \subseteq f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \);
ed infatti "eseguendo" la dimostrazione per esempio con \( -2 \) si ha che:
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) \) si ricava \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \land -2 \in f^{-1}(Y_{2}) \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue correttamente \( 4 \in f(X_{1}) \land 4 \in f(X_{2}) \));
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \) si ricava \( 4=f(-2) \in Y_{1} \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{1}) \) segue \( 2 \in X_{1} \)");
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{2}) \) si ricava \( 4=f(-2) \in Y_{2} \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{2}) \) segue \( -2 \in X_{2} \)");
potendo quindi scrivere \( 4 \in Y_{1} \land 4 \in Y_{2} \) per poi avere \( 4 \in Y_{1} \cap Y_{2} \) poiché ovviamente \( 4 = 4 \) (mentre prima si aveva in corrispondenza \( 2 \in X_{1} \land -2 \in X_{2} \) con ovviamente \( -2 \neq 2 \)) e trarre da ciò \( \pm 2 \in f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \), che ingloba \( -2 \in f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \), che è il passaggio che consente di "chiudere" l'inclusione.
Spero che il papiro non abbia compromesso la chiarezza: magari puoi aiutarti nel visualizzare quanto [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)#/media/File:Funcao_venn.png]rappresentando graficamente[/url] il tutto.
Ovviamente quando vuoi puoi continuare.
Il simbolo \( \implies \) è un connettivo logico, detto di solito condizionale o implicazione: date due proposizioni \( P \) e \( Q \), il condizionale le lega formando la proposizione \( P \implies Q \), da leggere come "\( P \) implica \( Q \)" oppure come "se \( P \), allora \( Q \)", dove \( P \) è detto antecedente e \( Q \) è detto conseguente. A rigore di notazione, ne segue allora che o si usa il simbolo \( \implies \) e non si usano né "se... allora" né "implica", oppure si usa "se... allora" o "implica" e non si usa il simbolo \( \implies \). Per coerenza di notazione, essendo anche \( \land \) e \( \lor \) due connettivi, se si decide di usare \( \implies \), allora si usano \( \lor \) e \( \land \), se invece si decide di usare "se... allora" oppure "implica", si usano allora "e" e "o/oppure".
La notazione \( f(\cdot) \) si usa sì per risparmiarsi di scrivere l'argomento della funzione ma non nel senso che se non si ha voglia di scrivere l'argomento della funzione, allora si piazza il punto: se è questo ciò che ho fatto intendere, allora mi sono spiegato male e me ne scuso. Dati sue insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, una funzione di \( S \) in \( T \) si indica di solito con la notazione \( f \colon S \to T \), dove \( f \) è il nome/simbolo della funzione; dato \( x \in S \), l'elemento \( f(x) \) di \( T \) è il corrispondente o immagine[nota]Attenzione a non confondere questo concetto di immagine con il concetto di immagine mediante \( f \) di un sottoinsieme del dominio della funzione.[/nota] di \( x \) mediante \( f \). Dunque dato un elemento \( x \) del dominio, per scriverne la generica immagine mediante la funzione \( f \), in generale si deve riutilizzare il nome/simbolo della funzione e la \( x \), posta tra parentesi dopo il nome/simbolo della funzione, si dice che fa da argomento. Bene: ci sono alcune funzioni che hanno nomi/simboli particolari, per esempio la funzione norma: il simbolo della funzione, in questo caso \( \| \cdot \| \), si ottiene dalla particolare e specifica notazione per l'immagine del generico elemento \( x \) del dominio, in questo caso \( \| x \| \), "cancellando" l'elemento del dominio stesso e mettendo al suo posto il punto centrato. Quindi, partendo dal simbolo della funzione norma, quando si sostituisce al punto centrato un elemento del dominio si da un argomento alla funzione e quindi ci si riferisce all'immagine dell'argomento; risparmiandosi di scrivere l'argomento e sostituendolo con il punto centrato si da un nome/simbolo alla funzione e ci si riferisce ad essa più che all'immagine dell'elemento del dominio. Non so se rendo l'idea. In ogni caso colpa mia: mi sono espresso male.
Posto ciò, iniziamo dal punto (a): \( f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \). E segnatamente iniziamo dalla prima inclusione:
"diedro":
Voglio dimostrare che $f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Se $x \in f^{-1}(L \cup M) \Rightarrow f{x} \in (L \cup M)$, perché ho definito $f^{-1}(\cdot)={x:f(x) \in L}$.
Se $f(x)\in L \cup M \Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$.
$\Rightarrow f(x) \in f(L) \cup f(M)$.
$\Rightarrow x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M)$.
Quindi $ f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) $.
C'è da:
• correggere l'uso del condizionale e della notazione puntata: questo non è un errore di ragionamento, quanto piuttosto una questione di uniformità e di correttezza di notazione;
• rimuovere la quarta riga perché \( L \) e \( M \) sono adesso sottoinsiemi del condominio, quindi non può proprio essere né \( f(L) \) né \( f(M) \): questo è proprio un errore;
• aggiungere due righe tra la terza e la ex quinta riga: si deve infatti passare da \( f(x) \) della terza riga a \( x \) della ex quinta riga e questa è un'omissione che si potrebbe anche considerare passabile.
E allora si riscrive tutto come:
Voglio dimostrare che \( f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \).
Se \( x \in f^{-1}(L \cup M) \), allora \( f(x) \in L \cup M \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x)\in L \cup M \), allora \( f(x) \in L \) oppure \( f(x) \in M \), per la definizione di unione.
Se \( f(x) \in L \), allora \( x \in f^{-1}(L) \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x) \in M \), allora \( x \in f^{-1}(M) \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( x \in f^{-1}(L) \) oppure \( x \in f^{-1}(M) \), allora \( x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \), per la definizione di unione.
Quindi $ f^{-1}(L \cup M) \subseteq f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) $.
Passiamo all'inclusione contraria:
"diedro":
Ora voglio dimostrare $f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $.
Se $x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \Rightarrow x \in f^{-1}(L) \vee x \in f^{-1}(M)$;
$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$;
$\Rightarrow f(x) \in L \cup M$;
$ x \in f^{-1}(L \cup M)$;
Quindi $ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) $
Qui va meglio: volendo, ci sono da adottare gli stessi aggiustamenti di forma di cui sopra ma non c'è l'errore commesso in precedenza. Quindi, volendo, si può riscrivere così:
Ora voglio dimostrare \( f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) \).
Se \( x \in f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \), allora \( x \in f^{-1}(L) \) oppure \( x \in f^{-1}(M) \), per la definizione di unione.
Se \( x \in f^{-1}(L) \), allora \( f(x) \in L \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( x \in f^{-1}(M) \), allora \( f(x) \in M \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x) \in L \) oppure \( f(x) \in M \), allora \( f(x) \in L \cup M \), per la definizione di unione.
Se \( f(x) \in L \cup M \), allora \( x \in f^{-1}(L \cup M) \), per la definizione di antiimmagine.
Quindi \( f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cup M) \).
In definitiva per quanto riguarda \( f^{-1}(L \cup M) = f^{-1}(L) \cup f^{-1}(M) \) l'unico vero errore è stato l'uso di \( f(L) \) e \( f(M) \) nella dimostrazione della prima inclusione, per il resto sono cavilli di forma che, se vuoi e il tuo docente non ci tiene più di tanto, puoi anche ignorare, almeno in prima istanza: li ho comunque riportati visto che ci tieni a fare bene.
Passiamo adesso al punto (b): \( f^{-1}(L \cap M) = f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \).
Ci sono da correggere le stesse cose a proposito del punto (a): nella dimostrazione della prima inclusione ci sarebbero da uniformare le notazioni, ci sarebbe da sistemare l'omissione e c'è da correggere l'errore rappresentato dall'uso di \( f(L) \) e \( f(M) \). Si potrebbe quindi riscrivere la dimostrazione così:
Voglio dimostrare che \( f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \).
Se \( x \in f^{-1}(L \cap M) \), allora \( f(x) \in L \cap M \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x) \in L \cap M \), allora \( f(x) \in L \) e \( f(x) \in M \), per la definizione di intersezione.
Se \( f(x) \in L \), allora \( x \in f^{-1}(L) \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x) \in M \), allora \( x \in f^{-1}(M) \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( x \in f^{-1}(L) \) e \( x \in f^{-1}(M) \), allora \( x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \), per la definizione di intersezione.
Quindi \( f^{-1}(L \cap M) \subseteq f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \).
Per quanto riguarda l'inclusione contraria, come per l'inclusione contraria di cui al punto (a), non ci sono questa volta veri errori ma solo accorgimenti di forma, quindi, volendo, la dimostrazione dell'inclusione contraria si può riscrivere così:
Ora voglio dimostrare \( f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) \).
Se \( x \in f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \), allora \( x \in f^{-1}(L) \) e \( f^{-1}(M) \), per la definizione di intersezione.
Se \( x \in f^{-1}(L) \), allora \( f(x) \in L \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( x \in f^{-1}(M) \), allora \( f(x) \in M \), per la definizione di antiimmagine.
Se \( f(x) \in L \) e \( f(x) \in M \), allora \( f(x) \in L \cap M \), per la definizione di intersezione.
Se \( f(x) \in L \cap M \), allora \( x \in f^{-1}(L \cap M) \), per la definizione di antiimmagine.
Quindi \( f^{-1}(L) \cap f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(L \cap M) \).
Ciò detto, concludiamo a proposito della differenza tra l'esercizio 1 e questo esercizio.
"diedro":
$\Rightarrow f(x) \in L \vee f(x) \in M$" è il passaggio chiave, a differenza del primo esercizio posso farlo perché sto lavorando con le immagini. Mi piacerebbe visualizzarmele meglio in testa, ma ora mi è chiaro questo.
Innanzitutto il passaggio chiave non riguarda la disgiunzione inclusiva ma la congiunzione, perché la differenza tra i due esercizi non riguarda l'unione (sia con le immagini di parti del dominio che con le antiimmagini di parti del codominio vale l'uguaglianza) ma riguarda l'intersezione: con le intersezioni delle immagini di parti del dominio non vale l'uguaglianza mentre invece con l'intersezione delle antiimmagini di parti del codominio vale l'uguaglianza.
Per chiarire questo punto ripuliamo un attimo le notazioni:
• siano allora \( S \) e \( T \) due insiemi non vuoti;
• siano \( X_{1} \) e \( X_{2} \) due sottoinsiemi di \( S \);
• siano \( Y_{1} \) e \( Y_{2} \) due sottoinsiemi di \( T \);
• sia \( f : S \to T \) un'applicazione qualunque di \( S \) in \( T \) (non facciamo cioè al momento ipotesi sulla sua iniettività);
• siano \( f(X_{1}) \) e \( f(X_{2}) \) le immagini di \( X_{1} \) e \( X_{2} \) come sopra definite, i.e. \( f(X_{1}) = \{ f(x) \mid x \in X_{1} \} \) e \( f(X_{2}) = \{ f(x) \mid x \in X_{2} \} \));
• siano \( f^{-1}(Y_{1}) \) e \( f(Y_{2}) \) le antiimmagini di \( Y_{1} \) e \( Y_{2} \) come sopra definite, i.e. \( f^{-1}(Y_{1}) = \{ x \in S \mid f(x) \in Y_{1} \} \) e \( f^{-1}(Y_{2}) = \{ x \in S \mid f(x) \in Y_{2} \} \).
Nel caso dell'intersezione tra le immagini di parti del dominio si è detto che non sempre vale \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \), lo si è mostrato con un esempio e si è detto che, concordemente, non è possibile dimostrare che vale \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \), perché provando a far partire la dimostrazione si ha che:
• da \( f(x) \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue \( f(x) \in f(X_{1}) \land f(x) \in f(X_{2}) \) per la definizione di intersezione;
• da \( f(x) \in f(X_{1}) \) segue \( x \in X_{1} \) per la definizione di immagine;
• da \( f(x) \in f(X_{2}) \) segue \( x \in X_{2} \) per la definizione di immagine;
ma, se la funzione non è iniettiva, non è detto che si tratti della stessa \( x \), quindi non si può scrivere \( x \in X_{1} \land x \in X_{2} \) per poi trarre (in base alla definizione di intersezione) \( x \in X_{1} \cap X_{2} \) e concludere la dimostrazione.
Applicando la non-dimostrazione all'esempio che tu stesso hai fatto si vede bene l'intoppo:
• \( S = T = \mathbb{R} \);
• \( f \) manda \( x \) in \( x^{2} \);
• \( X_{1} = \{0,1,2,3\} \), \( X_{2}=\{-3,-2,-1,0\} \) e \( X_{1} \cap X_{2} = \{0\} \);
• \( f(X_{1})=\{0,1,4,9\} \), \( f(X_{2})=\{0,1,4,9\} \), \( f(X_{1} \cap X_{2}) = \{0\} \) e \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) = \{0,1,4,9\} \);
• \( f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \not\subseteq f(X_{1} \cap X_{2}) \)
ed infatti "eseguendo" la non-dimostrazione per esempio con \( 4 \) si ha che da \( 4 \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue correttamente \( 4 \in f(X_{1}) \land 4 \in f(X_{2}) \) ma mentre da \( 4 \in f(X_{1}) \) segue \( 2 \in X_{1} \), da \( 4 \in f(X_{2}) \) segue \( -2 \in X_{2} \), quindi si potrebbe anche scrivere \( 2 \in X_{1} \land -2 \in X_{2} \) ma sarebbe fine a sé stesso perché poi non si potrebbe poi scrivere altro, essendo \( -2 \neq 2 \).
Fa eccezione il caso delle funzioni costanti: per queste, seppur non iniettive, soddisfano la doppia inclusione (e quindi l'uguaglianza) semplicemente perché qualunque sottoinsieme non vuoto del dominio si prenda, l'immagine di questo sottoinsieme è il singleton che contiene la costante.
Nel caso dell'intersezione tra le antiimmagini di parti del codominio la doppia inclusione invece funziona perché partendo da sottoinsiemi del codominio e lavorando a ritroso su questi per mezzo delle loro antiimmagini, si ottengono i sottoinsiemi del dominio che contengono tutte le \( x \) che hanno per immagini gli elementi dei sottoinsiemi del codominio considerati. E nella dimostrazione si inizia a lavorare sugli elementi del dominio, per ciascuno dei quali esiste uno ed un solo corrispondente, per mezzo della definizione stessa di funzione. La cosa dovrebbe divenire chiara riutilizzando l'esempio di cui sopra:
• \( Y_{1} = \{ 0,1,4,9 \} \), \( Y_{2} = \{ 0,4,16,25 \} \) e \( Y_{1} \cap Y_{2} = \{ 0,4 \} \);
• \( f^{-1}(Y_{1})= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 \} \), \( f^{-1}(Y_{2}) = \{ 0, \pm 2, \pm 4, \pm 5 \} \), \( f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) = \{0, \pm 2 \} \) e \( f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) = \{ 0, \pm 2 \} \);
• \( f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) \subseteq f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \);
ed infatti "eseguendo" la dimostrazione per esempio con \( -2 \) si ha che:
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}) \) si ricava \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \land -2 \in f^{-1}(Y_{2}) \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{1}) \cap f(X_{2}) \) segue correttamente \( 4 \in f(X_{1}) \land 4 \in f(X_{2}) \));
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{1}) \) si ricava \( 4=f(-2) \in Y_{1} \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{1}) \) segue \( 2 \in X_{1} \)");
• da \( -2 \in f^{-1}(Y_{2}) \) si ricava \( 4=f(-2) \in Y_{2} \) (a cui "corrisponde" il passaggio "da \( 4 \in f(X_{2}) \) segue \( -2 \in X_{2} \)");
potendo quindi scrivere \( 4 \in Y_{1} \land 4 \in Y_{2} \) per poi avere \( 4 \in Y_{1} \cap Y_{2} \) poiché ovviamente \( 4 = 4 \) (mentre prima si aveva in corrispondenza \( 2 \in X_{1} \land -2 \in X_{2} \) con ovviamente \( -2 \neq 2 \)) e trarre da ciò \( \pm 2 \in f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \), che ingloba \( -2 \in f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) \), che è il passaggio che consente di "chiudere" l'inclusione.
Spero che il papiro non abbia compromesso la chiarezza: magari puoi aiutarti nel visualizzare quanto [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)#/media/File:Funcao_venn.png]rappresentando graficamente[/url] il tutto.
Ovviamente quando vuoi puoi continuare.
ciao,
scusa ancora il disturbo, ma non riesco ad a andare avanti con il punto 3) e 4). Potresti aiutarmi ancora?
Grazie infinite
scusa ancora il disturbo, ma non riesco ad a andare avanti con il punto 3) e 4). Potresti aiutarmi ancora?
Grazie infinite
Riprendiamo dal punto 3.
Dati gli insiemi \( A \) e \( C \) ed una funzione \( f \colon A \to C \), si deve provare che, data la relazione \( \mathfrak{R} \) su \( A \) tale per cui \( a \mathfrak{R} b \iff f(a) = f(b) \) con \( a, b \in A \), se \( L \subseteq A \), allora \( f^{-1} \left ( f(L) \right ) = \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \).
Quando vuoi.
Dati gli insiemi \( A \) e \( C \) ed una funzione \( f \colon A \to C \), si deve provare che, data la relazione \( \mathfrak{R} \) su \( A \) tale per cui \( a \mathfrak{R} b \iff f(a) = f(b) \) con \( a, b \in A \), se \( L \subseteq A \), allora \( f^{-1} \left ( f(L) \right ) = \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \).
Quando vuoi.
ciao,
grazie 1000. Ora provo, ma faccio veramente fatica a visualizzare le cose, nonostante intuitivamente mi siano chiare.
$f^{-1}(f(L))={x \in A : f(x)\in f(L)}$, ma, usando la definizione di $f(L)$ ho che:
$f^{-1}(f(L))={x \in A : f(x)\in f(L)={f(b):b \in L}}$, quindi per qualche $b \in L$ ho che $f(x)=f(b)$, cioè $x \mathfrak{R} b$.
Quindi \( f^{-1} \left ( f(L) \right ) = \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \).
Cosa ne pensi?
grazie grazie
grazie 1000. Ora provo, ma faccio veramente fatica a visualizzare le cose, nonostante intuitivamente mi siano chiare.
$f^{-1}(f(L))={x \in A : f(x)\in f(L)}$, ma, usando la definizione di $f(L)$ ho che:
$f^{-1}(f(L))={x \in A : f(x)\in f(L)={f(b):b \in L}}$, quindi per qualche $b \in L$ ho che $f(x)=f(b)$, cioè $x \mathfrak{R} b$.
Quindi \( f^{-1} \left ( f(L) \right ) = \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \).
Cosa ne pensi?
grazie grazie
L'idea è giusta. Solo due appunti:
• questione di gusti: non è il caso (secondo me) di mettere \( f(L) = \ldots \) all'interno dell'insieme \( f^{-1}(f(L)) \);
• per come l'hai scritta, hai provato solo che \( f^{-1}(f(L)) \subseteq \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \) ma ovviamente il discorso che hai fatto vale anche nel verso opposto.
• questione di gusti: non è il caso (secondo me) di mettere \( f(L) = \ldots \) all'interno dell'insieme \( f^{-1}(f(L)) \);
• per come l'hai scritta, hai provato solo che \( f^{-1}(f(L)) \subseteq \{ x \in A \mid x \mathfrak{R} b \text{ per qualche } b \in L \} \) ma ovviamente il discorso che hai fatto vale anche nel verso opposto.
ciao,
eccomi di nuovo. Scusa se ti disturbo. Volevo chiederti se posso continuare?
Cosa ne dici?
Perché per l'altro punto non saprei da dove iniziare.
Grazie 1000
eccomi di nuovo. Scusa se ti disturbo. Volevo chiederti se posso continuare?
Cosa ne dici?
Perché per l'altro punto non saprei da dove iniziare.
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