Relazione riflessiva e numero sottoinsiemi possibili
Buonasera.
Vi pongo qui di sotto una domanda che mi era stata fatta a un orale di matematica e vorrei capire se finalmente ho capito come si deve.
La domanda era un approfondimento di un esercizio scritto che chiedeva:
La mia risposta era stata
Y={(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)} in modo che R U Y ={(0,1),(3,2),(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}
La risposta è gisuta, ma all'orale mi ha chiesto un approfondimento, ossia se era l'unico sottoinsieme prendibile.
Risposi di no, che bastava una qualsiasi combinazione dei sottoinsiemi di AxA, basta che sia presente la relazione che ho scritto poco fa, che è quella indispensabile.
Il mio problema è sorto quando il professore mi ha chiesto di calcolarli.
Dopo varie spiegazioni che mi ha dato durante l'esame scorso e riflessioni mie fatte a casa, sono giunto a un numero che secondo me potrebbe essere giusto. Ora spiego il mio ragionamento.
Un insieme di N elementi ha \(\displaystyle 2^N \) sottoinsiemi, quindi in questo caso i possibili sottoinsiemi di A sono 16.
AxA, invece, è un insieme formato da \(\displaystyle N^2 \) coppie di elementi, dove N è il numero di elementi di A; in questo caso avendo A 4 elementi, AxA ne avrà 16.
Ma allora, AxA avrà, applicando la formula di prima, $2^16$ sottoinsiemi.
Però, $2^16$ sono troppi, perchè , ad esempio, se ad R U Y aggiungo l'insieme vuoto, rimane sempre R U Y, quindi è già un elemento in meno.
Secondo me devo togliere da quei $2^16$ elementi, tutti i possibili sottoinsiemi di R U Y, che altrimenti sarebbero inutili.
Quindi, basandomi sui calcoli di prima, R U Y avrà $2^6$ sottoinsiemi.
La risposta finale, secondo tutto questo mio ragionamento, avrebbe quindo dovuto essere: $2^16$-$2^6$.
Spero tanto che sia giusta e di aver capito
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà.
Vi pongo qui di sotto una domanda che mi era stata fatta a un orale di matematica e vorrei capire se finalmente ho capito come si deve.
La domanda era un approfondimento di un esercizio scritto che chiedeva:
Si consideri la relazione R:={(0,1),(3,2)}
dall'insieme A:={0,1,2,3}.
Si determini un sottoinsieme Y di AxA tale che la relazione R U Y sia una relazione riflessiva.
La mia risposta era stata
Y={(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)} in modo che R U Y ={(0,1),(3,2),(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}
La risposta è gisuta, ma all'orale mi ha chiesto un approfondimento, ossia se era l'unico sottoinsieme prendibile.
Risposi di no, che bastava una qualsiasi combinazione dei sottoinsiemi di AxA, basta che sia presente la relazione che ho scritto poco fa, che è quella indispensabile.
Il mio problema è sorto quando il professore mi ha chiesto di calcolarli.
Dopo varie spiegazioni che mi ha dato durante l'esame scorso e riflessioni mie fatte a casa, sono giunto a un numero che secondo me potrebbe essere giusto. Ora spiego il mio ragionamento.
Un insieme di N elementi ha \(\displaystyle 2^N \) sottoinsiemi, quindi in questo caso i possibili sottoinsiemi di A sono 16.
AxA, invece, è un insieme formato da \(\displaystyle N^2 \) coppie di elementi, dove N è il numero di elementi di A; in questo caso avendo A 4 elementi, AxA ne avrà 16.
Ma allora, AxA avrà, applicando la formula di prima, $2^16$ sottoinsiemi.
Però, $2^16$ sono troppi, perchè , ad esempio, se ad R U Y aggiungo l'insieme vuoto, rimane sempre R U Y, quindi è già un elemento in meno.
Secondo me devo togliere da quei $2^16$ elementi, tutti i possibili sottoinsiemi di R U Y, che altrimenti sarebbero inutili.
Quindi, basandomi sui calcoli di prima, R U Y avrà $2^6$ sottoinsiemi.
La risposta finale, secondo tutto questo mio ragionamento, avrebbe quindo dovuto essere: $2^16$-$2^6$.
Spero tanto che sia giusta e di aver capito
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà.
Risposte
Ciao.
Io ragionerei diversamente. Devi calcolare tutti i possibili sovrainsiemi di $R \cup Y$ che sono contenuti in $A \times A$. Siccome i 6 elementi in $R \cup Y$ li devi prendere per forza, devi decidere se prendere oppure no quelli rimanenti, che sono 10. Quindi hai in totale $2^{10}$ sovrainsiemi possibili.
Io ragionerei diversamente. Devi calcolare tutti i possibili sovrainsiemi di $R \cup Y$ che sono contenuti in $A \times A$. Siccome i 6 elementi in $R \cup Y$ li devi prendere per forza, devi decidere se prendere oppure no quelli rimanenti, che sono 10. Quindi hai in totale $2^{10}$ sovrainsiemi possibili.
Però $ 2^16 - 2^6 $ non fa $ 2^10 $ o sbaglio?
"sanci":
Però $ 2^16 - 2^6 $ non fa $ 2^10 $ o sbaglio?
No. $2^10 = 1024$ mentre $ 2^16 - 2^6 = 65472 $
"sanci":
Però $ 2^16 - 2^6 $ non fa $ 2^10 $ o sbaglio?
No no.
Proprietà potenze
Siano $a, n,m in ZZ$
$a^n-a^m = a^m(a^(n-m)-1)$
"xunil1987":
Ciao.
Io ragionerei diversamente. Devi calcolare tutti i possibili sovrainsiemi di $R \cup Y$ che sono contenuti in $A \times A$. Siccome i 6 elementi in $R \cup Y$ li devi prendere per forza, devi decidere se prendere oppure no quelli rimanenti, che sono 10. Quindi hai in totale $2^{10}$ sovrainsiemi possibili.
Eh infatti, a me viene $ 2^16 - 2^6$ , mentre mi sembra di aver capito che a te viene $ 2^10 $ .
Il mio "non viene" era proprio nel senso che non viene così, non era una domanda retorica
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