Relazione inversa fra gruppo di Galois e razionalità

[luki1]

Qualunque funzione delle radici di un polinomio invariante rispetto alle permutazioni del gruppo di Galois è SEMPRE una funzione razionale?

Detto in altro modo vorrei sapere se vale anche l'inverso dell'implicazione: "una funzione razionale delle radici di un polinomio è sempre invariante rispetto alle permutazioni del gruppo di Galois".

Grazie mille a chi mi aiuta.

[mickey88]

Allora, abbiamo un campo $K$ e un polinomio $f$ a coefficienti in $K$. Questo avrà delle radici (distinte??) nella chiusura algebrica $\bar K$. Ora, con "Gruppo di Galois" intendi il gruppo di Galois assoluto di $K$? Non hai specificato nessuna estensione... E con "funzione razionale" intendi un rapporto tra polinomi, a coefficienti in $K$, calcolati nelle radici di $f$?

[luki1]

Hai ragione non ho specificato, per gruppo di galois intendo quello rispetto alla sua chiusura algebrica. Per funzione razionale invece un rapporto di polinomi.

[mickey88]

Ho paura che dovrai chiarire meglio qualcosa, allo stato attuale non credo nemmeno che l'enunciato che proponi all'inizio sia vero.
Considera $f(X)=X^2-2$ su $\QQ$, le radici in $\bar \QQ$ sono $\sqrt 2$ e $-\sqrt 2$ e il gruppo di Galois, o le tiene fisse o le scambia. Prendi il polinomio (che è una funzione razionale) $p(x,y)=2x+y$. Calcolato in $x=\sqrt 2$ e $y=-\sqrt 2$ diventa $\sqrt 2$, e se applichi un elemento del gruppo di Galois che inverte le radici, si trasforma in $-\sqrt 2$, quindi non è invariante.