Relazione inversa
Se ho una relazione R, esiste un qualche assioma o è implicito nella definizione di relazione inversa, che esiste sempre ed è unica la sua inversa R1?
Sto dimostrando un teorema , ma non posso inferire l'esistenza di R1.
Grazie a chi mi risponderà.
Sto dimostrando un teorema , ma non posso inferire l'esistenza di R1.
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Puoi usare tranquillamente il fatto che esista. La definizione è ben posta, dovresti solo dimostrare che è effettivamente una relazione.
Grazie per la risposta vict.
Ho un altro piccolo dubbio circa la definzione di funzione invertibile. I
Io ne ho dato la seguente, ma non so se è giusta.
$ f:A->B $ è invertibile $ <=>AAR|(R $ è inversa di $ f:A->B $) $ =>(R $ è una funzione)
Ho fatto bene ad utilizzare il quantificatore universale, o avrei dovuto utilizzare l'esistenziale?
Ho un altro piccolo dubbio circa la definzione di funzione invertibile. I
Io ne ho dato la seguente, ma non so se è giusta.
$ f:A->B $ è invertibile $ <=>AAR|(R $ è inversa di $ f:A->B $) $ =>(R $ è una funzione)
Ho fatto bene ad utilizzare il quantificatore universale, o avrei dovuto utilizzare l'esistenziale?
Ciao Marco 
La definizione che hai proposto è tautologica (ossia per definire la funzione inversa richiami lo stesso concetto).
Io personalmente avrei usato la seguente definizione di funzione invertibile: "una funzione $f: A \rightarrow B$ è invertibile se è biiettiva", dove come sai una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
La definizione che hai proposto è tautologica (ossia per definire la funzione inversa richiami lo stesso concetto).
Io personalmente avrei usato la seguente definizione di funzione invertibile: "una funzione $f: A \rightarrow B$ è invertibile se è biiettiva", dove come sai una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
A me non sembra tautologica. Infatti dire che R(che è una semplice relazione) è inversa di f non equivale a dire che f è invertibile. Solo se R è anche una funzione, allora f è invertibile e R si può scrivere come $f^-1:B->A$.
A partire da questa definizione il mio libro fa segure il teorema che afferma che:
se e solo se una funzione è biunivoca allora è invertibile.
Il mio dubbio è che non so quale quantificatore utilizzare vicino ad R, e perchè uno non vale l'altro
A partire da questa definizione il mio libro fa segure il teorema che afferma che:
se e solo se una funzione è biunivoca allora è invertibile.
Il mio dubbio è che non so quale quantificatore utilizzare vicino ad R, e perchè uno non vale l'altro
Ciao Marco
Riguardo alla tua obiezione nell'ultimo post: sì ma rimane comunque il fatto che se parlo di inversa di una relazione $R$ presuppongo già che sia invertibile. In ogni caso, venendo incontro al tuo dubbio sui quantificatori, io riscriverei la definizione così (diversamente dal libro):
$$f: A \rightarrow B \text{ è invertibile } \Leftrightarrow \exists f^{-1}: B \rightarrow A \land f \text{ è funzione}.$$
Si può omettere in questo caso il fatto che $f^{-1} \in \mathcal{R}$ (dove con $\mathcal{R}$ denoto l'insieme di tutte le possibili relazioni, è semplicamente una simbologia che ho scelto io di adottare) in quanto è già chiaro che stiamo lavorando nell'universo delle relazioni e non vi è pericolo di ambiguità alcuna. Riguardo all'utilizzo dei quantificatori in questo caso dobbiamo utilizzare quello esistenziale e non l'universale in quanto a noi basta che ne esista una di relazione sifatta nel nostro universo delle relazioni, non stiamo cercando di affermare che una o più proprietà devono essere soddisfatte da tutte le relazioni del nostro universo.
Riguardo alla tua obiezione nell'ultimo post: sì ma rimane comunque il fatto che se parlo di inversa di una relazione $R$ presuppongo già che sia invertibile. In ogni caso, venendo incontro al tuo dubbio sui quantificatori, io riscriverei la definizione così (diversamente dal libro):
$$f: A \rightarrow B \text{ è invertibile } \Leftrightarrow \exists f^{-1}: B \rightarrow A \land f \text{ è funzione}.$$
Si può omettere in questo caso il fatto che $f^{-1} \in \mathcal{R}$ (dove con $\mathcal{R}$ denoto l'insieme di tutte le possibili relazioni, è semplicamente una simbologia che ho scelto io di adottare) in quanto è già chiaro che stiamo lavorando nell'universo delle relazioni e non vi è pericolo di ambiguità alcuna. Riguardo all'utilizzo dei quantificatori in questo caso dobbiamo utilizzare quello esistenziale e non l'universale in quanto a noi basta che ne esista una di relazione sifatta nel nostro universo delle relazioni, non stiamo cercando di affermare che una o più proprietà devono essere soddisfatte da tutte le relazioni del nostro universo.
Grazie mille @onlyReferee. 
Solo un'ultima cosa. Perchè gli insiemi A e B non si quantificano. Nella scrittura formale e corretta del teorema andrebbe fatto?
Solo un'ultima cosa. Perchè gli insiemi A e B non si quantificano. Nella scrittura formale e corretta del teorema andrebbe fatto?
Ciao Marco
Di nulla. Innanzitutto faccio notare un piccolo errore che avevo commesso nella scrittura del post e che ho corretto: chiaramente la nostra $f^{-1}$ va da $B$ ad $A$ e non viceversa (non avevo invertito dominio e codominio).
Rispondendo alla tua ultima domanda, gli insiemi $A$ e $B$ non occorre che li quantifichiamo perché ai fini della nostra definizione sono due entità che ci sono "già date" ed indicano due insiemi generici con cui lavorare. Giusto per chiarire ulteriormente, è come se io ti dicessi: "siano dati due triangoli rettangoli che chiamiano $T_1$ e $T_2$. Allora...". Non avrebbe alcun senso scrivere né $\forall T_1 ...$ (in quanto $T_1$ è uno solo e ci è già dato) né $\exists T_1 ...$ (in quanto $T_1$ ci è già dato e sappiamo già che esiste). Ovviamente lo stesso discorso vale per $T_2$.
Di nulla. Innanzitutto faccio notare un piccolo errore che avevo commesso nella scrittura del post e che ho corretto: chiaramente la nostra $f^{-1}$ va da $B$ ad $A$ e non viceversa (non avevo invertito dominio e codominio).
Rispondendo alla tua ultima domanda, gli insiemi $A$ e $B$ non occorre che li quantifichiamo perché ai fini della nostra definizione sono due entità che ci sono "già date" ed indicano due insiemi generici con cui lavorare. Giusto per chiarire ulteriormente, è come se io ti dicessi: "siano dati due triangoli rettangoli che chiamiano $T_1$ e $T_2$. Allora...". Non avrebbe alcun senso scrivere né $\forall T_1 ...$ (in quanto $T_1$ è uno solo e ci è già dato) né $\exists T_1 ...$ (in quanto $T_1$ ci è già dato e sappiamo già che esiste). Ovviamente lo stesso discorso vale per $T_2$
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