Relazione fra gruppi omomorfi

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!

Ho un dubbio su una dimostrazione presentata nel testo di I.N. Herstein, Algebra. Enuncio il teorema:

"Sia $phi$ un omomorfismo di $G$ su $barG$ di nucleo $K$, $barN$ un sottogruppo normale di $barG$ e $N={xinG|phi(x)inbarN}$. Allora $G/N~~barG/barN$. [...]"

Riporto i punti salienti della dimostrazione in modo da presentare il mio dubbio:

E' noto che vi è un omomorfismo $theta$ di $barG$ su $barG/barN$ dato da: $theta(barg)=barNbarg$. Definiamo l'applicazione $psi:G->barG/barN$ mediante la legge $psi(g)=barNphi(g)$, per ogni $ginG$. Si prova che $psi$ è un omomorfismo di $G$ su $barG/barN$ [la prova non la scrivo]. Ci chiediamo qual è il nucleo $T$ di $psi$. Proviamo che $T=N$ facendo vedere le due inclusioni insiemistiche:
1) $NsubeT$. Sia $ninN$, $phi(n)inbarN$ e dunque: $psi(n)=barNphi(n)=barN$, ma $barN$ è l'elemento neutro di $barG/barN$ e ciò prova che $NsubeT$.
2) L'altra inclusione l'ho capita.

Il mio dubbio è nel passaggio:

$barNphi(n)=barN$

perchè $phi(n)$ è come se si comportasse da elemento neutro?

Vi ringrazio per le risposte,

Andrea

[mistake89]

Perchè $phi(n)in barN$.
Dire che $phi(n)inbarN$ equivale a dire che moltiplicando $phi(n)$ per un qualsiasi elemento $ninbarN$, essendo un sottogruppo, rimani dentro $barN$.

[Andrea902]

Capito. Quindi quell'operazione andava letta come il prodotto di $barN$ e di un suo elemento. Chiaramente il risultato è ancora un elemento di $barN$ stesso...

Grazie!