Relazione equivalenza, insieme quoziente e partizioni.
Salve a tutti,
dato il seguente
Teorema:
a) Se ~ è un'equivalenza su A, allora l'insieme quoziente A/~ è una partizione di A.
b) Se F è una partizione di A, si definisca una relazione ~ su A ponendo, per ogni a,b € A, a ~ b se esiste X € F tale che a € X e b € X. Allora ~ è una equivalenza su A.
potete per favore farmi degli esempi per farmi capire meglio il tutto? magari con elementi noti?
mille grazie.
dato il seguente
Teorema:
a) Se ~ è un'equivalenza su A, allora l'insieme quoziente A/~ è una partizione di A.
b) Se F è una partizione di A, si definisca una relazione ~ su A ponendo, per ogni a,b € A, a ~ b se esiste X € F tale che a € X e b € X. Allora ~ è una equivalenza su A.
potete per favore farmi degli esempi per farmi capire meglio il tutto? magari con elementi noti?
mille grazie.
Risposte
benvenuto/a nel forum.
tutto sta nel significato di partizione. sai che cos'è una partizione? prova a definirla. ciao.
tutto sta nel significato di partizione. sai che cos'è una partizione? prova a definirla. ciao.
Si ho capito il significato di partizione e questa è la definizione:
Sia A un insieme non vuoto. Una partizione F di A è una famiglia di sottoinsiemi di A tali che:
(a) ogni X € F è non vuoto;
(b) con l'unione di questi insiemi X € F ottengo A (cioè l'insieme di partenza)
(c) se considero X, Y € F con X diverso da Y, la loro intersezione è vuota, cioè essi non hanno elementi in comune.
e già che ci siamo diamo anche la definizione di classe di equivalenza e insieme quoziente:
>Classe di equivalenza:
Sia A un insieme e ~ un'equivalenza su A. Per ogni a € A definiamo [a] = { x | x € A, x ~ a }
detta "classe di equivalenza di a modulo ~".
>Insieme Quoziente:
A/~ = {[a] | a € A } detto insieme quoziente di A modulo ~. Cioè l'insieme di tutte le classi di equivalenza dell'insieme A.
... però mi piacerebbe vedere qualche esempio perchè c'è qualcosa che mi sfugge...
se per cortesia potete aiutarmi
e aggiungo, non so se è qui il luogo giusto dove postare ciò e se sbaglio mi scuso. Questo argomento l'ho fatto in università ed ho reputato giusto postarlo qui, non vorrei che altri membri considerassero troppo semplice l'argomento da rimanere infastiditi al punto tale da non rispondere......
Sia A un insieme non vuoto. Una partizione F di A è una famiglia di sottoinsiemi di A tali che:
(a) ogni X € F è non vuoto;
(b) con l'unione di questi insiemi X € F ottengo A (cioè l'insieme di partenza)
(c) se considero X, Y € F con X diverso da Y, la loro intersezione è vuota, cioè essi non hanno elementi in comune.
e già che ci siamo diamo anche la definizione di classe di equivalenza e insieme quoziente:
>Classe di equivalenza:
Sia A un insieme e ~ un'equivalenza su A. Per ogni a € A definiamo [a] = { x | x € A, x ~ a }
detta "classe di equivalenza di a modulo ~".
>Insieme Quoziente:
A/~ = {[a] | a € A } detto insieme quoziente di A modulo ~. Cioè l'insieme di tutte le classi di equivalenza dell'insieme A.
... però mi piacerebbe vedere qualche esempio perchè c'è qualcosa che mi sfugge...
se per cortesia potete aiutarmi
e aggiungo, non so se è qui il luogo giusto dove postare ciò e se sbaglio mi scuso. Questo argomento l'ho fatto in università ed ho reputato giusto postarlo qui, non vorrei che altri membri considerassero troppo semplice l'argomento da rimanere infastiditi al punto tale da non rispondere......
adesso ti ha risposto abbastanza esaurientemente Sergio. volevo solo farti un esempio molto semplice. prendiamo l'insieme dei numeri naturali da 1 a 20, e lo suddividiamo in tre classi di equivalenza: {1,4,7,10,13,16,19}, {2,5,8,11,14,17,20}, {3,6,9,12,15,18}.
nel primo insieme abbiamo inserito i numeri congrui a 1(mod 3), nel secondo i numeri congrui a 2(mod 3), nel terzo i numeri congrui a 0(mod 3), cioè i multipli di 3.
in ogni caso, l'appartenere allo stesso sottoinsieme (classe di equivalenza) è una relazione di equivalenza perché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: ogni elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di se stesso, se un elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di un secondo elemento, quest'ultimo appartiene allo stesso sottoinsieme del primo, inoltre se "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "b" e "b" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c" allora anche "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c". pensa ad esempio ai numeri 1,4,10.
spero di essere stata utile. ciao.
nel primo insieme abbiamo inserito i numeri congrui a 1(mod 3), nel secondo i numeri congrui a 2(mod 3), nel terzo i numeri congrui a 0(mod 3), cioè i multipli di 3.
in ogni caso, l'appartenere allo stesso sottoinsieme (classe di equivalenza) è una relazione di equivalenza perché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: ogni elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di se stesso, se un elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di un secondo elemento, quest'ultimo appartiene allo stesso sottoinsieme del primo, inoltre se "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "b" e "b" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c" allora anche "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c". pensa ad esempio ai numeri 1,4,10.
spero di essere stata utile. ciao.
chiaro. grazie infinite.
ed inoltre....
Dal momento che si considera poligoni regolari l'insieme A sarà costutito per esempio da
A = { triangolo, quadrato, pentagono, esagono, eptagono, ennagono, decagono } ecc...
e dal momento che dobbiamo considerare solo poligoni regolari, ogni partizione contiene solo un unico elemento. è giusto?
invece se nel caso avessimo considerato poligoni in generale avremmo avuto ad esempio un quadrato, un rombo ed un trapezio isoscele facenti parte della stessa partizione. e giusto anche questo?
ed inoltre....
Considera l'insieme A di tutti i poligoni regolari.
Sia ∼ la relazione di equivalenza "ha lo stesso numero di lati di".
I sottoinsiemi di A sono "triangoli", "quadrati", "pentagoni" ecc.
Dal momento che si considera poligoni regolari l'insieme A sarà costutito per esempio da
A = { triangolo, quadrato, pentagono, esagono, eptagono, ennagono, decagono } ecc...
e dal momento che dobbiamo considerare solo poligoni regolari, ogni partizione contiene solo un unico elemento. è giusto?
invece se nel caso avessimo considerato poligoni in generale avremmo avuto ad esempio un quadrato, un rombo ed un trapezio isoscele facenti parte della stessa partizione. e giusto anche questo?
solo triangoli equilateri, solo quadrati, ... ma non solo "un" triangolo...
ho capito, riguardo la seconda parte della mia domanda, ho ragione?
anzi mi correggo quadrati rombi e trapezi isosceli... sbaglio?
e nel caso avessimo considerato poligoni in generale avremmo avuto ad esempio un quadrato, un rombo ed un trapezio isoscele facenti parte della stessa partizione. e giusto anche questo?
anzi mi correggo quadrati rombi e trapezi isosceli... sbaglio?
sì, tutti i quadrilateri fanno parte della stessa classe di equivalenza, ma non solo un campione per categoria, tutti gli infiniti quadrilateri che possiamo immaginare...
Credo che per il momento non ci sia più niente da aggiungere!
Perfetto!! Grazie tantissimo.
Perfetto!! Grazie tantissimo.
prego!
Se possibile vorrei gentilmente ricevere delle ultime delucidazioni.
dalla teoria:
Nel teorema si associa ad ogni equivalenza una partizione, e ad ogni partizione un'equivalenza.
Facendo corrispondere ad ogni equivalenza ~ su A la partizione A/~, e ad ogni partizione F su A l'equivalenza ~ su A si ottiene una biiezione tra l'insieme delle equivalenze su A e l'insieme delle partizioni di A.
da me:
considerando sempre l'esempio della relazione "hanno lo stesso numero di lati di", l'insieme delle equivalenze su A dovrebbe essere quello di tutte le equivalenze ad esempio se 'a' e 'b' sono pentagoni e 'c' e 'd' sono quadrati dovremmo avere un insieme composto in questo modo{ a~b, c~d } mentre l'insieme delle partizioni dovrebbe essere { pentagoni, quadrati }. è giusto?
si può descrivere questa biiezione che intercorre?
dalla teoria:
Nel teorema si associa ad ogni equivalenza una partizione, e ad ogni partizione un'equivalenza.
Facendo corrispondere ad ogni equivalenza ~ su A la partizione A/~, e ad ogni partizione F su A l'equivalenza ~ su A si ottiene una biiezione tra l'insieme delle equivalenze su A e l'insieme delle partizioni di A.
da me:
considerando sempre l'esempio della relazione "hanno lo stesso numero di lati di", l'insieme delle equivalenze su A dovrebbe essere quello di tutte le equivalenze ad esempio se 'a' e 'b' sono pentagoni e 'c' e 'd' sono quadrati dovremmo avere un insieme composto in questo modo{ a~b, c~d } mentre l'insieme delle partizioni dovrebbe essere { pentagoni, quadrati }. è giusto?
si può descrivere questa biiezione che intercorre?
il fatto che ad ogni partizione corrisponda una relazione di equivalenza e, viceversa, ad ogni relazione di equivalenza corrisponda una partizione, ti dovrebbe convincere che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle equivalenze. però non è certo facile descriverle, anche perché sono di una potenza non numerabile e si possono "inventare con molta fantasia...". qualche esempio te l'ha fornito Sergio.
io volevo farti riflettere sul caso finito: prova a contare tutte le possibili partizioni di un insieme piccolo come {1,2,3,4,5}. immagina come il numero delle partizioni possa crescere rapidamente all'aumentare del numero degli elementi dell'insieme...
ciao. spero di essere stata chiara ed utile.
io volevo farti riflettere sul caso finito: prova a contare tutte le possibili partizioni di un insieme piccolo come {1,2,3,4,5}. immagina come il numero delle partizioni possa crescere rapidamente all'aumentare del numero degli elementi dell'insieme...
ciao. spero di essere stata chiara ed utile.
"bla99hf":
Se possibile vorrei gentilmente ricevere delle ultime delucidazioni.
dalla teoria:
Nel teorema si associa ad ogni equivalenza una partizione, e ad ogni partizione un'equivalenza.
Facendo corrispondere ad ogni equivalenza ~ su A la partizione A/~, e ad ogni partizione F su A l'equivalenza ~ su A si ottiene una biiezione tra l'insieme delle equivalenze su A e l'insieme delle partizioni di A.
da me:
considerando sempre l'esempio della relazione "hanno lo stesso numero di lati di", l'insieme delle equivalenze su A dovrebbe essere quello di tutte le equivalenze ad esempio se 'a' e 'b' sono pentagoni e 'c' e 'd' sono quadrati dovremmo avere un insieme composto in questo modo{ a~b, c~d } mentre l'insieme delle partizioni dovrebbe essere { pentagoni, quadrati }. è giusto?
si può descrivere questa biiezione che intercorre?
Da come dici le cose non mi sembra tu abbia colto il formalismo. Nel tuo esempio mi pare di capire che $A$ e' l'insieme di tutti i poligoni (che sono infiniti); l'equivalenza
"$\cdot$ ha lo stesso numero di lati di $\cdot$" Induce una partizione in $A$, il quale risulta essere $A=\cup_{k=1}^\infty A_n$, dove $A_k:={"poligoni con " k " lati"}$.
Questa non e' che una tra le possibili equivalenze , e induce una particolare partizione di $A$. Gli elementi del quoziente possono essere intepretati come dei "poligoni ideali"
- per esempio $A_5$ e' "il pentagono". L'insieme di tutte le partizioni e' ovviamente infinito e non capisco in termini d cosa vorretsti caratterizzare la bigezione "equivalenze <-> partizioni".
Se $A$ e' finito, per esempio se $A={1,2,3}$ allora le partizioni sono finite, in questo caso sono 5 e cioe' ${{1},{2},{3}}$, ${{1,2},{3}}$, ${{1,3},{2}}$, ${{2,3},{1}}$, ${{1,2,3]}$
e per ognuna di esse c'e' una corrispondente equivalenza.
EDIT Sembra che adaBTTLS mi abbia preceduto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo