Relazione d'ordine su Z

[gundamrx91-votailprof]

Devo verificare la definizione della relazione d'ordine $<=$ su $ZZ$:

$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= <=> m+k <= n+h$

relazione che potrei scrivere come:

$[(m,n)]_-= - [(h,k)]_-= <= [(0,0)]_-=$ oppure usando le corrispondenti coppie equivalenti:

$(m-n) - (h-k) <= 0$
$m - n - h +k <= 0$
$(m+k) - (n+h) <= 0$
$(m+k) <= (n+h)$

E' corretto oppure non ho capito niente???

[gundamrx91-votailprof]

nessun aiuto?? Anche perche' avrei altri dubbi/dimostrazioni da porvi....

[Lord K]

Devi provare con la definizione, ci sono infatti tre punti da verificare: riflessività, antisimmetria e transitività. La trasformazione che tu proponi non è errata ma non comprendo il ragionamento, visto che non migliora di molto il punto.

[gundamrx91-votailprof]

Infatti era questo che non mi tornava, perche' quei passaggi sono, diciamo, banali, mentre effettivamente la relazione d'ordine soddisfa le proprieta' riflessiva, transitiva e antisimmetrica.
Ok, allora dopo provo a verificare le tre proprieta' e posto i miei passaggi.

Grazie per ora

[gundamrx91-votailprof]

Dunque, per quanto riguarda la proprieta' riflessiva si ha che:

$xRx$

ovvero $[(m,n)]_-= <= [(m,n)]_-=$

dove e' evidente che la coppia equivalente e' uguale a se stessa.

[mistake89]

Devi verificare che $(m,n)R(m,n)$, applica quindi la definizione di relazione e vedi se è verificato oppure no

[gundamrx91-votailprof]

"mistake89":Devi verificare che $(m,n)R(m,n)$, applica quindi la definizione di relazione e vedi se è verificato oppure no

ho modificato il mio post esattamente quando rispondevi tu

Ritornando in argomento, la proprieta' riflessiva e' verificata.

Vero?????

[mistake89]

Sì certo, in quanto $m+n<= m+n$.

[gundamrx91-votailprof]

Meno male

Ora devo verificare la proprieta' antisimmetrica, cioe' che se e' verificata $xRy$ e $yRx$ allora $x = y$

cioe' che se

$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-=$ e $[(h,k)]_-= <= [(m,n)]_-= => x = y$

da cui

$(m-n) <= (h-k)$, $(m+k) <= (n+h)$
e
$(h-k) <= (m-n)$, $(n+h) <= (m+k)$

dove e' evidente che $(m-n) = (h-k)$

[krek1]

"GundamRX91":Devo verificare la definizione della relazione d'ordine $<=$ su $ZZ$:

$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= <=> m+k <= n+h$

hai definito la relazione $<=$ come $(m,n)R(h,k) <=> m+k <= n+h$

mentre con

"GundamRX91":
relazione che potrei scrivere come:

$[(m,n)]_-= - [(h,k)]_-= <= [(0,0)]_-=$

scrivi che $( (a,b)-(c,d) ) R (0,0)$

hai un operazione interna e non definisci $R$

[gundamrx91-votailprof]

cosa vuol dire che "hai un'operazione interna" ?

[krek1]

"GundamRX91":Devo verificare la definizione della relazione d'ordine $<=$ su $ZZ$:
$[(m,n)]_-= - [(h,k)]_-= <= [(0,0)]_-=$

E' un operazione fra due elementi di un isieme che ti da come risultato un elemento dell insieme stesso.

Forse la chiami legge di composizione interna.

in pratica quel segno $-^1$ in $[(m,n)]_-= -^1 [(h,k)]_-= <= [(0,0)]_-=$

è un operazione che non è definità.

[gundamrx91-votailprof]

Forse ho capito cosa intendi: in pratica essendo definita solo l'operazione di somma e prodotto in $ZZ$, allora la differenza non la posso "usare", a meno che mi manchi ancora della teoria.... se e' cosi' ho visto solo la somma, il prodotto e la relazione d'ordine $<=$.

[gundamrx91-votailprof]

Invece la proprietà transitiva dice che se sono verificate $xRy$ e $yRz$ allora e' verificata $xRz$

in pratica ho che:

$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-=$
$[(h,k)]_-= <= [(p,q)]_-=$
$[(m,n)]_-= <= [(p,q)]_-=$

da cui:

$(m-n) <= (h-k)$ , $(h-k) <= (p-q)$ , $(m-n) <= (p-q)$

anche in questo caso e' evidente che se $h-k$, che e' maggiore di $m-n$, risulta minore di $p-q$ ne consegue che anche $m-n$ e' minore di $p-q$

[gundamrx91-votailprof]

"GundamRX91":Meno male

Ora devo verificare la proprieta' antisimmetrica, cioe' che se e' verificata $xRy$ e $yRx$ allora $x = y$

cioe' che se

$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-=$ e $[(h,k)]_-= <= [(m,n)]_-= => x = y$

da cui

$(m-n) <= (h-k)$, $(m+k) <= (n+h)$
e
$(h-k) <= (m-n)$, $(n+h) <= (m+k)$

dove e' evidente che $(m-n) = (h-k)$

considerando pero' le somme delle coppie ordinate piuttosto delle differenze (come da definizione di $ZZ$) e facendone la somma membro a membro.