Relazione d'ordine incomprensibile

[ace94102]

mi sono imbattuto in questo esercizio
" avendo l'insieme $A=(a,b,c,d)$ e considerando la relazione $R={(b,b),(b,c),(b,a),(b,d),(a,a),(c,c),(d,d)}$ su a dire se questa è una rel.d'ordine. stabilire se $X=(b,c)$ abbia minoranti, maggioranti, massimo e minimo"

ora come da titolo non so cosa fare dato che non ho capito di che relazione si tratta
chi gentilmente può spiegarmi come svolgerlo?
grazie

[Epimenide93]

Conosci la definizione di relazione (generica)?

EDIT specifico che intendo la definizione insiemistica di relazione.

[ace94102]

"Epimenide93":Conosci la definizione di relazione (generica)?

EDIT specifico che intendo la definizione insiemistica di relazione.

sinceramente non ne hanno parlato, potresti spiegarmela tu per favore?

[Epimenide93]

Dato un insieme\(\displaystyle A \) si definisce relazione su \(\displaystyle A \) un qualsiasi \( \displaystyle \mathcal{R} \subseteq A \times A \), cioè una relazione non è altro che un generico insieme di coppie ordinate di elementi di \(\displaystyle A \).

\(\displaystyle \forall a \in A \,, \ \forall b \in A \) si scrive \(\displaystyle a \mathcal{R} b \iff (a,b) \in \mathcal{R} \), e si dice che due elementi sono in relazione (secondo \(\displaystyle \mathcal{R} \) ) tra loro. In altre parole due elementi di un insieme sono in relazione tra loro se la relativa coppia ordinata sta nel sottoinsieme di \( \displaystyle A \times A \) che definisce la relazione.

Alla luce di questa definizione, ripensa agli assiomi di relazione d'ordine, prova ad interpretarli in termini di coppie ordinate e appartenenza ad \(\displaystyle \mathcal{R} \) visto come sottoinsieme di \( \displaystyle A \times A \), dopodiché prova a svolgere l'esercizio. Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure!

Queste sono cose che puoi trovare su qualsiasi buon testo di Algebra. Ti consiglio Herstein - Algebra

[ace94102]

"Epimenide93":Dato un insieme\(\displaystyle A \) si definisce relazione su \(\displaystyle A \) un qualsiasi \( \displaystyle \mathcal{R} \subseteq A \times A \), cioè una relazione non è altro che un generico insieme di coppie ordinate di elementi di \(\displaystyle A \).

\(\displaystyle \forall a \in A \,, \ \forall b \in A \) si scrive \(\displaystyle a \mathcal{R} b \iff (a,b) \in \mathcal{R} \), e si dice che due elementi sono in relazione (secondo \(\displaystyle \mathcal{R} \) ) tra loro. In altre parole due elementi di un insieme sono in relazione tra loro se la relativa coppia ordinata sta nel sottoinsieme di \( \displaystyle A \times A \) che definisce la relazione.

Alla luce di questa definizione, ripensa agli assiomi di relazione d'ordine, prova ad interpretarli in termini di coppie ordinate e appartenenza ad \(\displaystyle \mathcal{R} \) visto come sottoinsieme di \( \displaystyle A \times A \), dopodiché prova a svolgere l'esercizio. Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure!

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stando a questo ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo(spero sia corretto):
riflessiva=$aRa=(a,a)€R$ dimostrata perchè la coppia è presente nella relazione
antis.=$aRb=(a,b)€R$, $bRa=(b,a)€R$=> b=a (anche se la prima coppia non è contenuta nella relazione)
transitiva=$aRb=(a,b)€R$,$bRc=(b,c)€R$=>$(a,c)€R$
per la questione del minimo massimo,ecc:
$X=(b,c)$ min=$a€X$,$per ognix€X$, $aRx$=b per via delle coppie bb e bc nella relazione
max=$a€X$,$per ognix€X$, $xRa$=c per via delle coppie cc e bc nella relazione
maggiorante=$a€A$,$per ognix€X$, $xRa$=non ce ne sono
minorante=$a€A$,$per ognix€X$, $aRx$=non ce ne sono

grazie per le risposte

[Epimenide93]

Direi che ci sei

Solo, essendo \( b \) il minimo di \( A \) è anche minorante di qualsiasi suo sottoinsieme, quindi in particolare è minorante anche di \( X \).

Qualche dritta "formale", ricorda di mettere il quantificatore universale ( \( \forall \) ) nell'esporre gli assiomi di relazione d'ordine, in quanto queste devono valere per tutti gli elementi/coppie/3-ple dell'insieme e cerca di scrivere sempre gli insiemi con le graffe, le tonde di solito si usano per molte altre cose (sono già tendenzialmente ambigue), è formalmente scorretto usarle anche per rappresentare gli elementi di un insieme, perché confonde molto le idee.

Saluti

[ace94102]

ok grazie ma per la proprietà antis.è dimostrata anche se la coppia a,b non è contenuta in R ?

[Epimenide93]

È proprio per quello che è antisimmetrica. Stai supponendo (implicitamente) \( a \ne b \), se in \( \mathcal{R} \) fossero presenti sia \( (a,b) \) che \( (b,a) \) vorrebbe dire che \(\displaystyle a \mathcal{R} b \ {\rm e} \ b \mathcal{R} a \ {\rm con} \ a \ne b \), e cioè, avresti trovato un controesempio al fatto che \(\displaystyle \mathcal{R} \) sia antisimmetrica. La proprietà antisimmetrica si può esprimere equivalentemente come \(\displaystyle \forall x \forall y \in A \,, \ (x,y) \in \mathcal{R} \Rightarrow (y,x) \not\in \mathcal{R} \). Prova a pensarci.