Relazione D'ordine a più condizioni

[Leonardo202]

Salve scusate dovrei verificare che la seguente relazione è di ordine:
Siano X,Y sottoinsiemi di P(A)
X<=Y se e solo se:

1)X=Y
oppure
2)|X|<|Y|

cioè devo verificare che valga la proprietà riflessiva,antisimmetrica e transitiva..
il problema è che ci sono due condizioni come procedo??
la nostra prof ha fatto una sorta di intersezione tra le varie condizioni a seconda se si sta verificando la proprietà antisimmetrica o transitiva.. ma non ho capito molto bene in cosa consiste.. e soprattuto la logico di tale procedimento, sareste cosi gentili da spiegarmelo grazie..

[Gi81]

Dunque, prima di tutto penso che $X$ e $Y$ non siano sottoinsiemi di $cc(P) (A)$, ma piuttosto di $A$
Si scrive $X,Y in cc(P) (A)$ oppure $X,Y sube A$

La relazione è $X<= Y <=> (X=Y vv |X|<|Y|)$

1) Proprietà riflessiva: non penso che ci siano problemi
2) Proprietà antisimmetrica:
Bisogna dimostrare che $AA X,Y sube A$, ogniqualvolta si ha $X<=Y$ e $Y<=X$, allora si ha $X=Y$
Riesci a "vedere" la dimostrazione?

[gundamrx91-votailprof]

Dato che tratta di sottoinsiemi dell'insieme delle parti, la relazione potrebbe essere quella di inclusione?

Edit: non avevo visto la risposta di Gi8.

[Leonardo202]

la prof ha fatto un intersezione tra queste due condizioni in questo modo:

1)X=Y 3)Y=X
oppure oppure
2)|X|<|Y| 4)|Y|<|X|
poi le ha inconrociate.. la 1 con la 2 la 1 con la 4 la 2 con la 3 e la 2 con la 4..
ma non ho capito il perchè e con quale logica..
(per verificare l'antisimmetria)..

[Gi81]

Allora, per verificare la proprietà antisimmetrica è conveniente procedere per assurdo (conosci la dimostrazione per assurdo?)
Siano $X<=Y$, $Y<=X$ e $X!=Y$. Da ciò segue necessariamente che $|X|<|Y| ^^ |Y|<|X|=> assurdo$
Fine

La tua prof ha invece voluto dimostrare direttamente.
Ha esaminato tutte le possibilità ha visto che l'unica che non porta a contraddizioni è quella $X=Y^^ Y=X$
E' un metodo sicuramente corretto, ma più lungo

[Leonardo202]

quindi seguendo il procedimento della mia prof..
io devo avere almeno un caso in cui X=Y?
ma la relazione d'ordine non dovrebbe prevedere sia il caso che se X=Y e Y=X allora X=Y
che se |X|<|Y| e |Y|<|X| allora X=Y??
poichè le condizioni sono due??

[Gi81]

Devi avere solo $X=Y$ e $Y=X$. Gli altri casi portano a contraddizioni:

[Leonardo202]

e ho capito..
ma se la relazione prevede due condizioni l'antiriflessiva non dovrebbe essere soddisfatte ad entrambe??
le due condizioni della relazione sono:
1)X=Y
2)|X|<|Y|

[Gi81]

No, non è necessario che siano soddisfatte entrambe. Cito quello che hai scritto all'inizio:

"Leonardo20":$X<=Y$ se e solo se:
1)$X=Y$
oppure
2)$|X|<|Y|$

[Leonardo202]

se magari mi spieghi perchè non è necessario che siano soddisfatte entrambe te ne sarei grato..

[Gi81]

perchè c'è l' "oppure"

[Leonardo202]

ok ti ringrazio molto..ti chiedo un ultimo piacere grande grande..
per favore potresti dimostrarmi(con il procedimento della mia prof.)
facendo tutti i passaggi che la sequente relazione è di ordine..sai questa è quella generale.. capita questa capisco tutto ..

C={a+i.b|a,b appartiene a R,i^2=-1}-->campo numeri complessi

(a+i.b)<=(c+i.d) se e solo se:

1)a+i.b=c+i.b
oppure
2)a^2+b^2
per favore..non dirmi niente..ci sto sbattendo da giorni sopra..
grazie

[Gi81]

Riscrivo l'esercizio usando le formule (ti prego, in futuro, di farlo tu stesso. è semplice):

In $CC={a+i*b|a,b in RR, i^2=-1}$
$(a+i*b)<=(c+i*d)<=> a+i*b=c+i*b$ oppure $a^2+b^2
Guarda, l'esercizio è assolutamente identico a quello precedente.
Per l'antisimmetrica,
nota che se $(a+ib)<=(c+id)$ e $(c+id)<=(a+ib)$, allora l'unica possibilità che non porta a contraddizioni è $a+ib=c+id$

[Leonardo202]

non riesco a capire gli altri passaggi..per piacere potresti scrivermi la risoluzione completa anche se è un po lunga..
dai per piacere è importante per me io sono piuttosto pignolo..
scrivendo magari anche tutti i casi e tutti i vari incroci per piacere..

[Gi81]

Ok, ma è l'ultima
Allora, noi abbiamo $(a+ib)<=(c+id)$ e $(c+id)<=(a+ib)$
Ci sono quattro possibilità:
1) $a^2+b^2< c^2+d^2$ e $c^2+d^2 perchè non è possibile che una quantità sia contemporaneamente minore e maggiore di un'altra.

2) $a^2+b^2< c^2+d^2$ e $c+id=a+ib$, che non può essere vera
perchè se $c+id=a+ib$ allora $c=a$ e $d=b$, quindi $c^2+d^2=a^2+b^2$
e non è possibile che una quantità sia minore e anche uguale a un'altra.

3) $a+ib=c+id$ e $c^2+d^2 perchè se $a+ib=c+id$ allora $a=c$ e $b=d$, quindi $a^2+b^2=c^2+d^2$
e non è possibile che una quantità sia minore e anche uguale di un'altra.

4) $a+ib=c+id$ e $c+id=a+ib$, che è accettabile

[Leonardo202]

ma scusa nel punto 3 e 4 hai sbagliato perchè hai scritto a+ib=c+id..
non dovrebbe essere a+ib=c+ib??

In ℂ={a+i⋅b|a,b∈ℝ,i2=-1}
(a+i⋅b)≤(c+i⋅d)⇔a+i⋅b=c+i⋅b oppure a2+b2
??

[Gi81]

Non è che l'esercizio era un altro? Tipo questo:

In $CC={a+i*b|a,b in RR, i^2=-1}$
$(a+i*b)<=(c+i*d)<=> a+i*b=c+i*d$ oppure $a^2+b^2
cioè non è $c+ib$ ma $c+id$

[Leonardo202]

non saprei forse ho sbagliato a scrivere..

[Leonardo202]

si è cosi avevo sbagliato a scrivere.

[Gi81]

Mi sembra che abbia molto più senso.
Ok, meglio così. Hai capito lo svolgimento?

[Leonardo202]

diciamo..
nel caso in cui tutte sarebbero risultate assurde cosa succedeva??
che la relazione non era di ordine??