Relazione d'ordine.
Buongiorno,
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo.
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva
quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x
Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?
Ciao.
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva
quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x
Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?
Ciao.
Risposte
"Martino":Questa non può essere la definizione di relazione antisimmetrica. Stai dicendo che deve accadere la cosa seguente.
[quote="Pasquale 90"]$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
"Se $x$ è in relazione con $y$ allora $x$ non è in relazione con $y$"
Che è semplicemente una proposizione falsa per ogni scelta di $x,y$.[/quote]
Ok, non me ne sono accorto...scusatemi.
Quindi
$R$ è antisimmetrica se $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cance} \cancel{R}y \)
Inoltre come si scrive : se e soltanto se , con il simbolo def. sopra ??
LOL hai riscritto la stessa identica cosa.
PS: \(\overset{\text{def}}\iff\)
"Pasquale 90":Meglio questa, non credi?
Quindi$R$ è antisimmetrica se \(xRy \land yRx\) implica $x=y$
PS: \(\overset{\text{def}}\iff\)
\overset{\text{def}}\iff
"solaàl":
LOL hai riscritto la stessa identica cosa.
Ahahah
$ R $ è antisimmetrica se $ xRy $ implica \( \displaystyle y\require{cancel} \cancel{R}x \)
Grazie per il codice solaàl
cmq la definizione che dai tu, sul il mio libro viene chiamata asimmetrica 
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