Relazione d'ordine.
Buongiorno,
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo.
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva
quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x
Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?
Ciao.
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, cioè:
1) $<$ riflessiva
2) $<$ asimmetrica
3) $<$ transitiva
quindi siano $x,y,z in NN_0$
riflessiva:
$x < x <=> EE n in N \ : \ y=x+n \ to \ n = 0 $ ma $n notin NN$
asimmetrica:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < x <=> EE m in N \ : \ x=y+m $
$x=y <=> x-y=0 <=> x+n-y-m=0 <=> x-y=m-n$
$m-n=0 \ to \ 1) \ m=n=0 \ or 2) \ m=n $
transitiva:
$x < y <=> EE n in N \ : \ y=x+n $
$y < z <=> EE m in N \ : \ z=y+m $
$z=x+n+m $, essendo che $n,m in NN \ to \ n+m in NN$ allora $x
Mi chiedo è un errore di battitura, in quanto supponendo l'esistenza dell'elemento $n in ZZ$ la proprietà di essere riflessiva e asimmetrica della relazione $<$ saranno soddisfatte, oppure (molto più probabilmente) sto sbagliando qualcosa, ma dove ?
Ciao.
Risposte
Qualche aiutino ? 
Ti sei accorto che stai dimostrando cose false?
Tipo che $x
Di quali proprietà gode un ordine stretto?
Tipo che $x
Di quali proprietà gode un ordine stretto?
Riflessività: ma se parti già dall'assunzione che \(\displaystyle x\leq x\), perché scrivi \(\displaystyle y\)?
Asimmetria: parti bene con le definizioni, ma da lì devi proseguire, e non che parti dalla fine e procedi a ritroso... basta una banale sostituzione.
Transitività: idem al caso precedente!
Asimmetria: parti bene con le definizioni, ma da lì devi proseguire, e non che parti dalla fine e procedi a ritroso... basta una banale sostituzione.
Transitività: idem al caso precedente!
Buongiorno,
gugo82,
Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:
Nelle condizioni di cui sopra, dicesi pure che $R$ è un ordinamento di $S$ o una relazione d'ordine in $S$
Il punto che mi confende è questo: riscrivo parola per parola quello che sta scritto sul mio libro !
Un ordinamento $R$ di $S$ è anche una relazione antisimmetrica, infatti se fosse $xRy$ e $yRx$ allora dalla transitività $xRx$ assurdo.
Osservazione : Sia $(S,R)$ un insieme ordinato e, con $x. y in S$, si ponga
Sia viceversa $R$ una relazione binaria in $S$ riflessiva, asimmetrica e transitiva e, con $x,y in S$ si ponga
Quanto visto mostra che la nozione di ordinamento equivale a quella di relazione binaria in riflessiva, asimmetrica e transitiva
Ora mi vuole dire semplicemente indicare la sostanziale differenza che c'è tra una relazione d'ordine e una relazione d'ordine stretto ?
Ma il problema è di quell'equivale che mi confonde!!
si mi sono confuso, quindi
$x EE n in NN \ : \ x=x+n \ to n = x-x = 0 notin NN $
dovrebbe essere questa, tipo $x=x+n+m <=> m+n=0 $ essendo che $m,n in NN $ come fa ad essere vera ?
Comunque tutto questo sta scritto a pag. 39 in Lezioni di algebra di Mario Curzio-Mercede Maj-Patrizia Longobardi.
Ciao
gugo82,
Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:
$x R x $ per ogni $x in S $
$x R z $ se contemporanemante si ha $xRy$ e $y Rz$ con $x,y,z$
Nelle condizioni di cui sopra, dicesi pure che $R$ è un ordinamento di $S$ o una relazione d'ordine in $S$
Il punto che mi confende è questo: riscrivo parola per parola quello che sta scritto sul mio libro !
Un ordinamento $R$ di $S$ è anche una relazione antisimmetrica, infatti se fosse $xRy$ e $yRx$ allora dalla transitività $xRx$ assurdo.
Osservazione : Sia $(S,R)$ un insieme ordinato e, con $x. y in S$, si ponga
$xR'y$ se e solo se $x=y$ o $xRy$.
Ne segue che $R'$ è una relazione binaria in $S$ che sia riflessiva, asimmetrica e transitiva.Sia viceversa $R$ una relazione binaria in $S$ riflessiva, asimmetrica e transitiva e, con $x,y in S$ si ponga
$xR'y$ se e solo se $x ne y$ ed $xRy$.
Allora $R'$ è un ordinamento di $S.$Quanto visto mostra che la nozione di ordinamento equivale a quella di relazione binaria in riflessiva, asimmetrica e transitiva
Ora mi vuole dire semplicemente indicare la sostanziale differenza che c'è tra una relazione d'ordine e una relazione d'ordine stretto ?
Ma il problema è di quell'equivale che mi confonde!!
"j18eos":
Riflessività: ma se parti già dall'assunzione che \( \displaystyle x\leq x \), perché scrivi \( \displaystyle y \)?
si mi sono confuso, quindi
$x
"j18eos":
Asimmetria: parti bene con le definizioni, ma da lì devi proseguire, e non che parti dalla fine e procedi a ritroso... basta una banale sostituzione.
dovrebbe essere questa, tipo $x=x+n+m <=> m+n=0 $ essendo che $m,n in NN $ come fa ad essere vera ?
Comunque tutto questo sta scritto a pag. 39 in Lezioni di algebra di Mario Curzio-Mercede Maj-Patrizia Longobardi.
Ciao
Quindi, il succo dell'osservazione è:
di far notare il forte legame che c'è tra una relazione d'ordine e d'ordine stretto, cioè:
Se considero un insieme $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine $R$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine stretto $P$.
Viceversa, sia sempre $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine stretto $P$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine $R$.
di far notare il forte legame che c'è tra una relazione d'ordine e d'ordine stretto, cioè:
Se considero un insieme $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine $R$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine stretto $P$.
Viceversa, sia sempre $S ne emptyset$ e una relazione d'ordine stretto $P$, allora posso definire in $S$ una relazione d'ordine $R$.
"Pasquale 90":
Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:
$x R x $ per ogni $x in S $
Questa è la proprietà riflessiva, non antiriflessiva…
Per quanto riguarda l’osservazione, ti si vuole far notare che da una relazione d’ordine $<$ come è definita nel testo (che, invece, usualmente si chiama relazione d’ordine stretto) si può ricavare una relazione d’ordine largo $<=$ (che, invece, usualmente si chiama relazione d’ordine), e viceversa.
Questo deriva dal fatto che, per scelta, gli autori decidono di chiamare relazione d’ordine qualcosa che usualmente non si chiama così, sicché si preoccupano di “tranquillizzare” il lettore dicendo che va bene ugualmente.
"gugo82":
[quote="Pasquale 90"]Un insieme ordinato è una coppia $(S,R)$ dove $S$ insieme ed $R$ una relazione binaria in $S$ la quale gode di : antiriflessiva e transitiva, cioè:
$x R x $ per ogni $x in S $
Questa è la proprietà riflessiva, non antiriflessiva… [/quote]
Si gugo82, ho sbagliato a scrivere, a tal proposito come devo fare per far "comparire" la sbaretta sulla $R$ ?
Invece dalla osservazione,
"gugo82":
Questo deriva dal fatto che, per scelta, gli autori decidono di chiamare relazione d’ordine qualcosa che usualmente non si chiama così, sicché si preoccupano di “tranquillizzare” il lettore dicendo che va bene ugualmente.
Come faccio a provare che la relazione $<$ in $NN_0$ definita
$x EE n in N \:\ y=x+n$ tipo è riflessiva ??
Ma non bisognerebbe provare che \( < \) è antiriflessiva?
P.S.
\(\require{cancel} \cancel{R} \): il comando è \cancel{testo} e per caricarlo devi dare \require{cancel} all'inizio della formula.
P.S.
\(\require{cancel} \cancel{R} \): il comando è \cancel{testo} e per caricarlo devi dare \require{cancel} all'inizio della formula.
Si G.D. in effetti $<$ è antiriflessiva si ha:
\(\displaystyle x \require{cancel} \cancel{R} x, \forall x \in \) $NN_0$ allora $x ne x+n $ per ogni $n in NN.$
Grazie per l'aiuto.
\(\displaystyle x \require{cancel} \cancel{R} x, \forall x \in \) $NN_0$ allora $x ne x+n $ per ogni $n in NN.$
Grazie per l'aiuto.
Sì ma ciò che hai scritto è esattamente ciò che devi dimostrare.
"G.D.":
Sì ma ciò che hai scritto è esattamente ciò che devi dimostrare.
Si G.D di fatto quello ho dimostrato
inoltre la transitività si dimostra prendendo $x,y,z in NN$ tali che $y=x+n$ e $z=y+m$ con $n,m in NN $,
per sostituzione si ha $z=x+n+m=x+(n+m)$, essendo che $n,m in NN$ allora anche $n+m in NN$. Il punto che so riconoscere "almeno credo" la differenza tra $<$ e $le$, ma non sono sicuro di cosa intende il libro per tali simboli, tutto qui.
Ti volevo chiedere, so che se prendo due naturali $n,m$ la loro somma appartiene ad $NN$, questo perchè $NN$ è chiuso rispetto alla somma, quindi $NN$ è un magma\gruppoide ?
Ciao
Beh:
$x EE n in NN :\ y=x+n$
$x <= y <=> EE n in NN_0:\ y=x+n$
in cui, se ho capito l'uso che fa il testo, $NN_0 := NN uu \{ 0\}$.
Entrambe $<$ e $<=$ sono transitive, ma una sola delle due relazioni è riflessiva e antisimmetrica, mentre l'altra è antiriflessiva e asimmetrica… Quale?
$x
$x <= y <=> EE n in NN_0:\ y=x+n$
in cui, se ho capito l'uso che fa il testo, $NN_0 := NN uu \{ 0\}$.
Entrambe $<$ e $<=$ sono transitive, ma una sola delle due relazioni è riflessiva e antisimmetrica, mentre l'altra è antiriflessiva e asimmetrica… Quale?
Ciao gugo82,
Per non confederici do' le definizioni che sono riportate sul libro: $S ne emptyset$ sia $R$ una relazione binaria in $S$ si ha che
$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
$R$ è asimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$
$<$ è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva,
$le$ è riflessiva, asimmetrica e transitiva.
Quindi, nell'esercizio per $<$ si intende che è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Per non confederici do' le definizioni che sono riportate sul libro: $S ne emptyset$ sia $R$ una relazione binaria in $S$ si ha che
$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
$R$ è asimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$
$<$ è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva,
$le$ è riflessiva, asimmetrica e transitiva.
Quindi, nell'esercizio per $<$ si intende che è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.
"Pasquale 90":
< è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva,
Strano che venga data questa definizione... L'antiriflessività e la transitività implicano l'antisimmetria. Quindi, per dire che una relazione è d'ordine stretto, basta dire che è antiriflessiva e transitiva.
"Pasquale 90":
$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
Ma sei proprio sicuro-sicuro?
Rileggi ciò che scrivi: non può farti altro che bene.
@ G.D.: Ciao WiZ!
"gugo82":
[quote="Pasquale 90"]$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
Ma sei proprio sicuro-sicuro? [/quote]
Certo gugo82, confermo e sottoscrivo
Penso che il problema che sta creando confusione sta nel fatto che stiamo dando definzioni dello stesso concetto, ma attribuendogli due nomi diversi.
Io sto studiando da due libri:
1) Lezioni di algebra di Mercede Maj-Mario Curzio-Patrizia Longobardi "libro consigliato dalla mia professoressa Mercede" inoltre la definizione di antisimmetria lo presa da quì, pag 26.
2) Elementi di algebra di De Giovanni- Franciosi.
Invece tu gugo82, che libro segui ?
Ciao.
Ma rileggi quello che hai scritto prima di darmi nome, cognome ed indirizzo degli autori!
"gugo82":
Ma rileggi quello che hai scritto prima di darmi nome, cognome ed indirizzo degli autori!
Ho risposto alla domanda che mi è stata posta, anzi sono andato a controllare se quello che avessi scritto in precedenza fosse corretto per non dare una risposta insensata, essendo quì un forum e non una chat.
In particolare, voglio far notare che anche in rete si trovano diverse definizioni di relazione antisimmetrica rispetto alla mia, ad esempio qui : https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_simmetrica
"Pasquale 90":Questa non può essere la definizione di relazione antisimmetrica. Stai dicendo che deve accadere la cosa seguente.
$R$ è antisimmetrica in $S$ se e soltanto se, $xRy$ implica \(\displaystyle x\require{cancel} \cancel{R}y \)
"Se $x$ è in relazione con $y$ allora $x$ non è in relazione con $y$"
Che è semplicemente una proposizione falsa per ogni scelta di $x,y$.
"gugo82":
@ G.D.: Ciao WiZ!
Ciao gugo!
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