Relazione di ricorrenza non lineare

[Pigreco2016]

È possibile avere una soluzione diretta per l'equazione ricorrenziale non lineare $T_n=(T_{n-1}+1)^2$, $T_0=2$ ?????

[gugo82]

Se intendi una formula esplicita per $T_n$, credo di no.

D'altra parte, la $T_n$ si può analizzare anche senza ricorrere ad espressioni esplicite.

[Pigreco2016]

Intendo proprio una espressione esplicita per $T_n$. Il mio dilemma è sorto risolvendo un esercizio sui numeri di Fermat che sono del tipo $F_n=2^{2^n}+1$. Questi numeri obbediscono all'equazione di ricorrenza $F_n=(F_{n-1}-1)^2+1 $. Ora faccio il ragionamento inverso, cioè devo riuscire a risolvere $F_n=(F_{n-1}-1)^2+1 $ con $F_0=3$. Tramite la sostituzione $T_n=F_n-1$, l'equazione di ricorrenza si trasforma in $T_n=(T_{n-1})^2$ con $T_0=2$ e questa è semplice da risolvere utilizzando il metodo delle iterate successive fino a trovare $T_n=2^{2^n}$, cioè $ F_n=2^{2^n}+1$. Ora quello che mi "sconvolge" è che si riesca a risolvere tranquillamente $T_n=(T_{n-1})^2$ e invece ci siano molti problemi per risolvere questa $T_n=(T_{n-1}-1)^2$.

[gugo82]

Vabbé, non è che ci sia nulla di sconvolgente... Sono tanti i problemi a prima vista semplici che non hanno soluzioni elementari.