Relazione di equivalenza - Gruppi
Sia $H$ un sottogruppo di $G$.
Definisco $a sim b$ se e solo se $a^{-1} b in H$ .
Vorrei sapere che genere di partizione forma questa relazione di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza? Perché è importante?
Grazie.
Definisco $a sim b$ se e solo se $a^{-1} b in H$ .
Vorrei sapere che genere di partizione forma questa relazione di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza? Perché è importante?
Grazie.
Risposte
Quella relazione puoi scriverla anche come $b in aH$. E' la relazione che definisce le classi laterali destre (o analogamente sinistre).
Se le classi laterali destre e sinistre coincidono per ogni elemento del gruppo allora si ha la normalità del sottogruppo.
La normalità di un sottogruppo è una questione centrale, perchè ti dà la possibilità, tra le tante proprietà, di considerare i relativi gruppi quozienti e di considerare vari teoremi di isomorfismo.
Davvero argomenti sterminati.
Se le classi laterali destre e sinistre coincidono per ogni elemento del gruppo allora si ha la normalità del sottogruppo.
La normalità di un sottogruppo è una questione centrale, perchè ti dà la possibilità, tra le tante proprietà, di considerare i relativi gruppi quozienti e di considerare vari teoremi di isomorfismo.
Davvero argomenti sterminati.
Grazie infinite, mistake. Quindi potrei asserire che due elementi sono in relazione se e solo se uno dei due appartiene al laterale sinistro dell'altro?
Domanda: le classi di equivalenza sono quindi tutti i laterali sinistri, forse?
Il gruppo $G$ è l'unione di tutte le classi di equivalenza di $sim$ , ovvero $uuu x H = G$ ?
Domanda: le classi di equivalenza sono quindi tutti i laterali sinistri, forse?
Il gruppo $G$ è l'unione di tutte le classi di equivalenza di $sim$ , ovvero $uuu x H = G$ ?
Esatto, le classi di equivalenza sono esattamente i laterali sinistri. Ovviamente queste partizionano $G$, che di conseguenza risulterà unione di laterali.