Relazione di equivalenza - Gruppi

Seneca1
Sia $H$ un sottogruppo di $G$.

Definisco $a sim b$ se e solo se $a^{-1} b in H$ .

Vorrei sapere che genere di partizione forma questa relazione di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza? Perché è importante?

Grazie.

Risposte
mistake89
Quella relazione puoi scriverla anche come $b in aH$. E' la relazione che definisce le classi laterali destre (o analogamente sinistre).
Se le classi laterali destre e sinistre coincidono per ogni elemento del gruppo allora si ha la normalità del sottogruppo.

La normalità di un sottogruppo è una questione centrale, perchè ti dà la possibilità, tra le tante proprietà, di considerare i relativi gruppi quozienti e di considerare vari teoremi di isomorfismo.

Davvero argomenti sterminati.

Seneca1
Grazie infinite, mistake. Quindi potrei asserire che due elementi sono in relazione se e solo se uno dei due appartiene al laterale sinistro dell'altro?

Domanda: le classi di equivalenza sono quindi tutti i laterali sinistri, forse?

Il gruppo $G$ è l'unione di tutte le classi di equivalenza di $sim$ , ovvero $uuu x H = G$ ?

mistake89
Esatto, le classi di equivalenza sono esattamente i laterali sinistri. Ovviamente queste partizionano $G$, che di conseguenza risulterà unione di laterali.

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