Relazione di equivalenza con modulo
ciao a tutti! l'esame di matematica discreta si avvicina e ci sono ancora alcune cose che non mi sono chiare...spero di trovare delle risposte qui sul forum!
Relazione di equivalenza:
Sia data la seguente relazione d'ordine [tex]\text {a R b se } a^2 \equiv b^2 \text { mod 5}[/tex]
Relazione di equivalenza:
Sia data la seguente relazione d'ordine [tex]\text {a R b se } a^2 \equiv b^2 \text { mod 5}[/tex]
- 1) Dimostrare se R è una relazione di equivalenza[/list:u:26tt6q7n]
- 2) Determinare le classi di equivalenza di X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} rispetto ad R, elencandone gli elementi.
[/list:u:26tt6q7n]
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi come risolvere questi 2 punti? grazie a tutti!
Risposte
Ciao Danyzzz 
Suppongo intanto la relazione $R$ sia definita in $ZZ$ in quanto coinvolge una congruenza al suo interno.
Riguardo al primo punto per vedere se $R$ è relazione di equivalenza bisogna che provi a verificare se valgono le proprietà riflessiva ($\forall a \in ZZ a R a$), simmetrica ($\forall a, b \in ZZ aRb \Rightarrow b R a$) e transitiva ($\forall a, b, c \in ZZ aRb\text{ and }bRc \Rightarrow aRc$). Ti ricordo, per aiutarti, che, in base alla definizione di congruenza, $a^2 \equiv b^2 \mod 5$ se $5$ divide $a^2 - b^2$.
Riguardo invece al secondo punto (da fare ovviamente solo una volta che hai svolto il primo), bisogna che determini (provando i vari elementi uno per uno) quali elementi del tuo insieme $X$ sono in relazione tra loro e cioè soddisfano la tua equazione di congruenza data. Una volta che hai determinato questi "gruppetti" di valori allora basta che scegli un rappresentante per ciascuna classe e sei a posto.
Suppongo intanto la relazione $R$ sia definita in $ZZ$ in quanto coinvolge una congruenza al suo interno.
Riguardo al primo punto per vedere se $R$ è relazione di equivalenza bisogna che provi a verificare se valgono le proprietà riflessiva ($\forall a \in ZZ a R a$), simmetrica ($\forall a, b \in ZZ aRb \Rightarrow b R a$) e transitiva ($\forall a, b, c \in ZZ aRb\text{ and }bRc \Rightarrow aRc$). Ti ricordo, per aiutarti, che, in base alla definizione di congruenza, $a^2 \equiv b^2 \mod 5$ se $5$ divide $a^2 - b^2$.
Riguardo invece al secondo punto (da fare ovviamente solo una volta che hai svolto il primo), bisogna che determini (provando i vari elementi uno per uno) quali elementi del tuo insieme $X$ sono in relazione tra loro e cioè soddisfano la tua equazione di congruenza data. Una volta che hai determinato questi "gruppetti" di valori allora basta che scegli un rappresentante per ciascuna classe e sei a posto.
grazie!!!
Ciao, scusate se mi intrometto nel topic ma ho lo stesso problema, è giusto procedere in questo modo:
Riflessiva
x²≡x² mod 5 ⇒ x²-x² = 0 = 5x0 e appartiene a Z5
Simmetrica
x²≡y² mod 5 ⇒ y²≡x² mod 5 = y²-x² = 5 (-Z) = y²≡x² mod 5
Transitiva
? non saprei ?
per determinare le classi di equivalenza di X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
bisogna fare 1² - 2² = [3], 2²-3² = [0], 3²-4² = [2], 2²-1² = [1] e cosi via?
grazie mille
Riflessiva
x²≡x² mod 5 ⇒ x²-x² = 0 = 5x0 e appartiene a Z5
Simmetrica
x²≡y² mod 5 ⇒ y²≡x² mod 5 = y²-x² = 5 (-Z) = y²≡x² mod 5
Transitiva
? non saprei ?
per determinare le classi di equivalenza di X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
bisogna fare 1² - 2² = [3], 2²-3² = [0], 3²-4² = [2], 2²-1² = [1] e cosi via?
grazie mille
@Danyzzz: prego, di nulla Chiedi pure se hai altri dubbi o qualcosa riguardo al procedimento non ti è chiaro.
@mrmoon
Ciao
Nessun problema, è una "intromissione" ben gradita, dato che l'esercizio corrisponde a quello già proposto
. La riflessiva è corretta.
Per la simmetrica ci chiediamo se, sapendo che è vero che $x^2 \equiv y^2 \mod 5$ (ossia che $5$ divide $x^2 - y^2$), è vero anche che $5$ divide $y^2 - x^2$. La risposta è affermativa poichè sappiamo che $\forall z, x \in ZZ, z |x \Rightarrow z | -x$ (dove con $|$ denoto la relazione di divisibilità).
Sia la proprietà riflessiva che la simmetrica andrebbero riscritte un attimo meglio nel tuo post (bisogna capire quali sono le ipotesi e quali i passaggi per arrivare alla conclusione).
Riguardo alla transitiva, la proprietà da verificare è espressa come scritto nell'ultimo mio post. Prova a scrivere le due ipotesi da cui partire e provare a ragione in maniera analoga a quanto fatto per la proprietà simmetrica (con i dovuti accorgimenti chiaramente). Vedrai che la conclusione è più facile di ciò che sembra.
Per le classi di equivalenza il procedimento è corretto. Attento però che $2^2 -1^2 = 4 - 1 = 3 \equiv -2 \mod 5 = [2]$.
Chiedi pure se hai altri dubbi o qualcosa riguardo al procedimento non ti è chiaro.@mrmoon
Ciao
Nessun problema, è una "intromissione" ben gradita, dato che l'esercizio corrisponde a quello già proposto
. La riflessiva è corretta.Per la simmetrica ci chiediamo se, sapendo che è vero che $x^2 \equiv y^2 \mod 5$ (ossia che $5$ divide $x^2 - y^2$), è vero anche che $5$ divide $y^2 - x^2$. La risposta è affermativa poichè sappiamo che $\forall z, x \in ZZ, z |x \Rightarrow z | -x$ (dove con $|$ denoto la relazione di divisibilità).
Sia la proprietà riflessiva che la simmetrica andrebbero riscritte un attimo meglio nel tuo post (bisogna capire quali sono le ipotesi e quali i passaggi per arrivare alla conclusione).
Riguardo alla transitiva, la proprietà da verificare è espressa come scritto nell'ultimo mio post. Prova a scrivere le due ipotesi da cui partire e provare a ragione in maniera analoga a quanto fatto per la proprietà simmetrica (con i dovuti accorgimenti chiaramente). Vedrai che la conclusione è più facile di ciò che sembra.
Per le classi di equivalenza il procedimento è corretto. Attento però che $2^2 -1^2 = 4 - 1 = 3 \equiv -2 \mod 5 = [2]$.
grazie mille! dovrei esserci
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