Relazione d'equivalenza su gruppo simmetrico
Salve, ho un gruppo simmetrico (S5,o) dove ho dimostrato ke ci può essere una relazione d’ equivalenza per ogni α,βЄS5 se α,β hanno lo stesso periodo. Ma la relazione è compatibile con la composizione o di S5? Se si come faccio a dimostrarlo?grazie
Risposte
"manu0103":
Salve, ho un gruppo simmetrico (S5,o) dove ho dimostrato ke ci può essere una relazione d’ equivalenza per ogni α,βЄS5 se α,β hanno lo stesso periodo. Ma la relazione è compatibile con la composizione o di S5? Se si come faccio a dimostrarlo?grazie
Una relazione è compatibile se $a~b$ e $c~d$ implica $ac~bd$
Considerando che per questo esempio è falso basta fare un controesempio:
$a=(12)(34) ~ b=(12)$
$c= (25) ~ d=(45)$
$(12)(34) \circ (25) ~ (12)\circ (45)$ è uguale a $(125)(34) ~ (12)(45)$ che è falso.
P.S: Se una relazione è compatibile con l'operazione in una struttura algebrica (con una sola legge di composizione) allora per quella struttura e quella relazione è definibile qualcosa di simile alla relazione di normalità di un gruppo. In pratica se esiste una relazione compatibile è possibile definire una operazione sull'insieme quoziente tale che la funzione che manda la struttura nel quoziente è un omomorfismo. Inoltre l'operazione mantiene associatività e commutatività dell'operazione della struttura (oltre che la chiusura).
quindi visto ke l' operazione di composizione non è commutativa allora non è compatibile con la relazione d' equivalenza?
"manu0103":
quindi visto ke l' operazione di composizione non è commutativa allora non è compatibile con la relazione d' equivalenza?
No, intendevo solamente dire che se l'operazione è commutativa e la relazione è compatibile allora l'operazione indotta sull'insieme quoziente è commutativa...