Rel. d'ordine e di equivalenza

[Karozzi]

Salve a tutti, ultimissimo dubbio prima dell'esame di domani!

Sia $R$ un sottoinsieme di $NxN$ della forma $R={(x,x)|x in N} U {(1,8),(2,4), ...}$

Se possibile scegliere la parte coi puntini in modo che:

a) $R$ sia relazione d'ordine su $N$
b) $R$ sia relazione d'equivalenza su $N$, diversa da $NxN$
c) $R$ non sia transitiva.

Allora, io ho pensato:

a) per essere relazione d'ordine dev'essere:
-riflessiva (lo è già poiche $R={(x,x)|x in N}$)
-antisimmetrica: lo è già(?) .. se non lo è già mi basterebbe aggiungere ad esempio la coppia $(3,5)$.
- transitiva: devo avere che se $(x,y) in R$ e $(y,z) in R$ allora anche $(x,z) in R$ <<---- Ma come posso scrivere per questo esercizio?

b) per essere rel. d'equivalenza deve:
- riflessiva --> lo è già.
Simmetrica; aggiungo le coppie $(8,1)$ e $(4,2)$
Transitiva: Stesso problema di sopra.

c) per non essere transitiva che cambi devo attuare?

[gundamrx91-votailprof]

Sulla parte a) dell'esercizio non capisco il perchè sia sufficiente aggiungere la coppia ordinata [tex](3,5)[/tex] per dire che sia antisimmetrica? In fondo lo è già, come del resto scrivi. Per la transitività potresti scrivere direttamente [tex]R = \{(x,x)|x \in \mathbb{N}\} \cup \{(1,8),(2,4),(8,10),(1,10),...\}[/tex], visto che l'esercizio dice di scegliere....

Il resto è una conseguenza...

[Karozzi]

Grazie!