Regola di Ruffini applicata a polinomi in Q[x]
Buongiorno a tutti ragazzi, vorrei proporre alcuni esercizi , e relativa soluzione, a proposito della divisione dei polinomi con Ruffini, premettendo che non è stato possibile visionare alcun esercizio su tale tipologia, quindi mi scuserete se lo svolgimento conterrà errori/imprecisioni.
Parto dal presupposto che non ci è stata spiegato concretamente ( e neanche teoricamente, ad essere sincero ) come opera l'algoritmo di Ruffini applicato a polinomi, tuttavia ho provato a svolgere i seguenti esercizi "adattando" l'algoritmo usato spesso a liceo per scomporre 1 singolo polinomio per una costante ( ovvero trovare lo 0 di un polinomio, applicare l'algoritmo per abbassare il polinomio di partenza di grado, e infine scrivere il polinomio con la forma : [ polinomio in x abbassato di grado ] x [ x - a ] con a 0 del polinomio iniziale.
L'intestazione è la seguente:
Eseguire le divisioni tra le seguenti coppie di polinomi in Q[x] usando, se possibile, la regola di Ruffini.
- $ a1(x)= x^5+x^4+3x^3-3x^2+2x-1 $ $ b1(x)= x^2+x-1 $
Da quello che ho desunto circa la regola di Ruffini applicata ai polinomi, essa è applicabile se e solo se il divisore è un binomio di primo grado che ha il coefficiente del termine di primo grado unitario.
Dunque il primo esercizio non si può svolgere tramite regola di Ruffini.
- $ a2(x)= x^4-x^2-2x+1 $ $ b2(x)= x-1 $
Qui la regola di ruffini è applicabile:
Dunque, utilizzando l'algoritmo ottengo il seguente polinomio : $ x^3+x^2-2 $ con resto uguale a $ -1 $
Per verificare, ho moltiplicato il quoziente, $ x^3+x^2-2 $ per il divisore, $ x-1 $ e sommando il resto , $ -1 $ : ho riottenuto così il polinomio di partenza a2(x): $ x^4-x^2-2x+1 $ : ragion per cui lo svolgimento dovrebbe essere corretto.
-$ a3(x)= x^3-2x^2+x+1 $ $ b3(x)= 2x-1 $
Qui in teoria bisognerebbe manipolare il divisore per rendere il suo coefficiente di grado massimo uguale ad $ 1 $ ;
Ho provato a moltiplicare per $ 1/2 $ dividendo e divisore a tal fine , ma, dopo aver applicato l'algoritmo di ruffini, provando a verificare come prima, ovvero moltiplicando quoziente per divisore e sommando il resto, non ri ottengo a3(x).... come mai?
Vi chiedo anche di confermarmi, possibilmente, se è corretta la mia affermazione circa il primo esercizio ( che non si può risolvere mediante Ruffini ) , e se la risoluzione del secondo è corretta.
Grazie.
Parto dal presupposto che non ci è stata spiegato concretamente ( e neanche teoricamente, ad essere sincero ) come opera l'algoritmo di Ruffini applicato a polinomi, tuttavia ho provato a svolgere i seguenti esercizi "adattando" l'algoritmo usato spesso a liceo per scomporre 1 singolo polinomio per una costante ( ovvero trovare lo 0 di un polinomio, applicare l'algoritmo per abbassare il polinomio di partenza di grado, e infine scrivere il polinomio con la forma : [ polinomio in x abbassato di grado ] x [ x - a ] con a 0 del polinomio iniziale.
L'intestazione è la seguente:
Eseguire le divisioni tra le seguenti coppie di polinomi in Q[x] usando, se possibile, la regola di Ruffini.
- $ a1(x)= x^5+x^4+3x^3-3x^2+2x-1 $ $ b1(x)= x^2+x-1 $
Da quello che ho desunto circa la regola di Ruffini applicata ai polinomi, essa è applicabile se e solo se il divisore è un binomio di primo grado che ha il coefficiente del termine di primo grado unitario.
Dunque il primo esercizio non si può svolgere tramite regola di Ruffini.
- $ a2(x)= x^4-x^2-2x+1 $ $ b2(x)= x-1 $
Qui la regola di ruffini è applicabile:
Dunque, utilizzando l'algoritmo ottengo il seguente polinomio : $ x^3+x^2-2 $ con resto uguale a $ -1 $
Per verificare, ho moltiplicato il quoziente, $ x^3+x^2-2 $ per il divisore, $ x-1 $ e sommando il resto , $ -1 $ : ho riottenuto così il polinomio di partenza a2(x): $ x^4-x^2-2x+1 $ : ragion per cui lo svolgimento dovrebbe essere corretto.
-$ a3(x)= x^3-2x^2+x+1 $ $ b3(x)= 2x-1 $
Qui in teoria bisognerebbe manipolare il divisore per rendere il suo coefficiente di grado massimo uguale ad $ 1 $ ;
Ho provato a moltiplicare per $ 1/2 $ dividendo e divisore a tal fine , ma, dopo aver applicato l'algoritmo di ruffini, provando a verificare come prima, ovvero moltiplicando quoziente per divisore e sommando il resto, non ri ottengo a3(x).... come mai?
Vi chiedo anche di confermarmi, possibilmente, se è corretta la mia affermazione circa il primo esercizio ( che non si può risolvere mediante Ruffini ) , e se la risoluzione del secondo è corretta.
Grazie.
Risposte
Da parte mia, onfermo il primo e il secondo esercizio.
In merito al terzo:
La difisione è diventata $1/2a3(x) : 1/2b3(x) = Q(x)$ e resto $R(x)$, pertanto $Q(x)*1/2b3(x) + R(x) = 1/2a3(x)$
quindi se vuoi ottenere $a3(x)$ come risultato della prova devi moltiplicare tutto per 2, compreso il resto:$Q(x)*b3(x) + 2*R(x) = a3(x)$
In merito al terzo:
La difisione è diventata $1/2a3(x) : 1/2b3(x) = Q(x)$ e resto $R(x)$, pertanto $Q(x)*1/2b3(x) + R(x) = 1/2a3(x)$
quindi se vuoi ottenere $a3(x)$ come risultato della prova devi moltiplicare tutto per 2, compreso il resto:$Q(x)*b3(x) + 2*R(x) = a3(x)$
Grazie mille per il chiarimento!
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