Razionalizzazione in $QQ(pi,sqrt(pi+3))$

[manuxy84]

Dovrei razionalizzare nel campo $K=QQ(pi,sqrt(pi+3))$ la frazione
$1/(pi^3 + sqrt(pi+3))$

So che $QQ(pi,sqrt(pi+3))=QQ(pi+sqrt(pi+3))$ giusto?

Fatico un po' a capire come sono fatti i suoi elementi e quindi mi è difficile anche razionalizzare...

Gli elementi di $K$ sono del tipo $a_0+a_1*pi+a_2*pi^2+...+a_n*pi^n+b_0*sqrt(pi+3)+b_1*pi*sqrt(pi+3)+...+b_(n-1)*pi^(n-1)*sqrt(pi+3)$ con $a_0,...a_n,b_0,...b_(n-1) in QQ$

Fin qui è giusto?

[maurer]

"manuxy84":
So che $QQ(pi,sqrt(pi+3))=QQ(pi+sqrt(pi+3))$ giusto?

Questo come fai a dirlo esattamente? Se stai pensando al risultato di cui abbiamo discusso qui (mi riferisco al teorema dell'elemento primitivo), allora ti faccio notare che è sbagliato. Infatti, nel teorema si parla di estensioni finite di un campo in caratteristica 0, ma [tex]\mathbb{Q}(\pi)[/tex] non è finita, perché [tex]\pi[/tex] è un numero trascendente! Sicuramente [tex]\mathbb{Q}(\pi+\sqrt{\pi+3}) \subseteq \mathbb{Q}(\pi,\sqrt{\pi+3})[/tex], ma sull'altra inclusione ho dei dubbi...

Per quanto riguarda la razionalizzazione, potresti postare la definizione di "razionalizzazione"? Perché, per come ogni elemento di [tex]K[/tex] è razionale su [tex]K[/tex]. Sarebbe più logico, a parer mio, chiedere la razionalizzazione della frazione che hai postato sul campo [tex]\mathbb{Q}(\pi)[/tex]. In tal caso:

[tex]\displaystyle \frac{1}{\pi^3+\sqrt{\pi+3}} = \frac{1}{\pi^3+\sqrt{\pi+3}}\cdot \frac{\pi^3-\sqrt{\pi+3}}{\pi^3 -\sqrt{\pi+3}} = \frac{\pi^3-\sqrt{\pi+3}}{\pi^6-\pi-3}[/tex]

Però, non ho mai incontrato la definizione rigorosa di razionalizzazione e pertanto chiedo.

[Paolo902]

"manuxy84":Dovrei razionalizzare nel campo $K=QQ(pi,sqrt(pi+3))$ la frazione
$1/(pi^3 + sqrt(pi+3))$

Secondo me la domanda è da intendersi: calcolare $(pi^3 + sqrt(pi+3))^(-1)$ in $K$ (cioè esprimere l'inverso di quel numero come una combinazione lineare degli elementi di una base di $K$ su $QQ$).

[maurer]

Scusami, probabilmente non ho capito bene. Se [tex]K = \mathbb{Q}(\pi,\sqrt{\pi+3}) = (\mathbb{Q}(\pi))(\sqrt{\pi+3})[/tex] allora gli elementi di una base di [tex]K[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è formata da tutte le funzioni razionali a coefficienti in [tex]\mathbb{Q}(\pi)[/tex] valutate in [tex]\sqrt{\pi+3}[/tex]. In particolare un elemento della base è [tex]\displaystyle \frac{1}{\pi^3+x}$ valutata in [tex]\sqrt{\pi+3}[/tex] e quindi salterebbe fuori che l'elemento che bisogna razionalizzare è lui stesso un elemento della base... o sbaglio qualcosa?