Rappresentazioni lineari equivalenti
\( (24)(53) \)Salve a tutti!
Ho un problema nel verificare che due rappresentazioni lineari sono equivalenti...
Mi vengono date inanzitutto le seguenti rappresentazioni tramite permutazioni :
dato il gruppo \( G=< \alpha ,\beta ,\gamma > \) e l' insieme \( X \) costituito dagli elementi \( 1,...,7 \)
-la prima rappresentazione tramite permutazioni è la seguente:
ad \( \alpha \) associo la permutazione \( (73)(62) \) , a \( \beta \) associo \( (35)(24) \), a \( \gamma \) associo \( (56)(21) \)
-la seconta rappresentazione tramite permutazioni è:
ad \( \alpha \) associo la permutazione \( (12)(65) \) , a \( \beta \) associo \( (24)(53) \), a \( \gamma \) associo \( (12)(65) \)
Devo verificare che le rappresentazioni lineari associate sono equivalenti.
Ora trovo le rappresentazioni tramite matrici A e B associate ad ognuna di queste due rappresentazioni tramite permutazioni associando ad ogni permutazione la matrice di permutazione corrispondente.
Ho poi la seguente defizione di rappresentazioni tramite matrici equivalenti:
\( \underline{def} \) : Due rappresentazioni \( A \) e \( B \) di grado n si dicono equivalenti se esiste una matrice \( S \) \( n\times n \) tale che per ogni \( g\in G \) si ha \( A(g)=SB(g)S^-1 \)
Visto che a \( \beta \) nelle due rappresantazioni di permutazioni è associata la stessa permutazione ho che \( A(\beta )=B(\beta ) \) , quindi se A e B fossero equivalenti S dovrebbe essere l' identità, che però non torna con gli altri elementi.
A me quindi tornerebbe che le due rappresentazioni non sono equivalenti, mentre mi viene detto che lo sono:((...questo ragionamento per vedere se sono equivalenti è corretto?
grazie mille!!!!
Ho un problema nel verificare che due rappresentazioni lineari sono equivalenti...
Mi vengono date inanzitutto le seguenti rappresentazioni tramite permutazioni :
dato il gruppo \( G=< \alpha ,\beta ,\gamma > \) e l' insieme \( X \) costituito dagli elementi \( 1,...,7 \)
-la prima rappresentazione tramite permutazioni è la seguente:
ad \( \alpha \) associo la permutazione \( (73)(62) \) , a \( \beta \) associo \( (35)(24) \), a \( \gamma \) associo \( (56)(21) \)
-la seconta rappresentazione tramite permutazioni è:
ad \( \alpha \) associo la permutazione \( (12)(65) \) , a \( \beta \) associo \( (24)(53) \), a \( \gamma \) associo \( (12)(65) \)
Devo verificare che le rappresentazioni lineari associate sono equivalenti.
Ora trovo le rappresentazioni tramite matrici A e B associate ad ognuna di queste due rappresentazioni tramite permutazioni associando ad ogni permutazione la matrice di permutazione corrispondente.
Ho poi la seguente defizione di rappresentazioni tramite matrici equivalenti:
\( \underline{def} \) : Due rappresentazioni \( A \) e \( B \) di grado n si dicono equivalenti se esiste una matrice \( S \) \( n\times n \) tale che per ogni \( g\in G \) si ha \( A(g)=SB(g)S^-1 \)
Visto che a \( \beta \) nelle due rappresantazioni di permutazioni è associata la stessa permutazione ho che \( A(\beta )=B(\beta ) \) , quindi se A e B fossero equivalenti S dovrebbe essere l' identità, che però non torna con gli altri elementi.
A me quindi tornerebbe che le due rappresentazioni non sono equivalenti, mentre mi viene detto che lo sono:((...questo ragionamento per vedere se sono equivalenti è corretto?
grazie mille!!!!
Risposte
Mi sembra che manchino dei dati: chi sono [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex]?
L'osservazione che [tex]A(\beta) = B(\beta)[/tex] non implica che [tex]S=1[/tex], implica solo che [tex]S[/tex] commuta con [tex]A(\beta)[/tex].
L'osservazione che [tex]A(\beta) = B(\beta)[/tex] non implica che [tex]S=1[/tex], implica solo che [tex]S[/tex] commuta con [tex]A(\beta)[/tex].
Di $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ non dice nulla...mi viene detto solo che ho un gruppo generato da tre elementi ( questo esempio è ripreso dall' articolo di Gordon, Webb e Wolpert https://www.mtholyoke.edu/courses/mpete ... 9/Drum.pdf ,pag 52)
Ho provato a usare 'eig' di Matlab per trovare $S$ visto che le matrici di permutazioni sono simmetriche e con lo stesso spettro. Se $V$ è la matrice degli autovettori ottenuta con 'eig' per il primo $\alpha$ e $P$ è quella associata al secondo $\alpha$ allora $S$ non dovrebbe essere $VP^-1$?...Però questa $S$ non commuta nè con la matrice di permutazione associata a $\beta$ nè con quella associata ad $\gamma$...
Ho provato a usare 'eig' di Matlab per trovare $S$ visto che le matrici di permutazioni sono simmetriche e con lo stesso spettro. Se $V$ è la matrice degli autovettori ottenuta con 'eig' per il primo $\alpha$ e $P$ è quella associata al secondo $\alpha$ allora $S$ non dovrebbe essere $VP^-1$?...Però questa $S$ non commuta nè con la matrice di permutazione associata a $\beta$ nè con quella associata ad $\gamma$...
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