Rappresentazioni, azioni di gruppi

Settevoltesette
Preso un gruppo astratto \(\displaystyle G \) ed un insieme \(\displaystyle E \) indico con \(\displaystyle P(E) \) il gruppo delle per mutazioni di \(\displaystyle E \)

Chiamo \(\displaystyle p:G-->P(E) \) una rappresentazione di \(\displaystyle G \) in \(\displaystyle E \)

Scrivo \(\displaystyle p(g)(x) = g(x) = gx \) con \(\displaystyle g \) in \(\displaystyle G \) ed \(\displaystyle x \)in \(\displaystyle E \)

Da quello che ho capito di questo ultimo passaggio sto considerando come\(\displaystyle gx \) l'elemento \(\displaystyle x \) di una certa permutazione in \(\displaystyle P(E) \) a cui viene composto a \(\displaystyle g \) nel senso che \(\displaystyle g \) viene mandato in ogni elemento di una certa permutazione ma io considero solo il caso specifico \(\displaystyle gx \)

Ora mi viene detto che \(\displaystyle gx \) appartiene ad \(\displaystyle E \). Perché?

Risposte
marco2132k
Una rappresentazione di un gruppo "astratto" \( G \) in un insieme \( E \) è un omomorfismo \( \rho\colon G\to S_E \), dove \( S_E = P(E) \) è il gruppo simmetrico di \( E \) (i.e., il gruppo delle funzioni invertibili \( E\to E \), con la composizione).

Quindi l'immagine \( \rho(g) \), \( g\in G \), secondo una rappresentazione di un gruppo \( G \) su \( E \) è una permutazione. Perché valutare questa permutazione su un elemento \( x \) di \( E \) non dovrebbe darti un elemento di \( E \)? :D

Settevoltesette
Vero.

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