Rappresentazione regolare destra
Sia $G= C_3$ il gruppo ciclico di ordine 3.
a) Costruire una rappresentazione regolare destra per G
b) Analoga richiesta ma con un diverso ordinamento del gruppo
c) Dimostrare che si ottiene lo stesso gruppo di permutazione
d) Esiste una relazione tra le permutazioni ottenute nei due casi? Se sì, quale?
RISOLUZIONE
Beh, non che abbia risolto granchè, finora...
Lasciando momentaneamente perdere i punti c) e d) (che sono troppo oltre per me)...
$C_3 = {1_G, a,a^2}$
Allora, io devo costruire un rappresentazione regolare destra per $C_3$ cioè un isomorfismo tra $C_3$ e il gruppo simmetrico $S_3$:
$phi: C_3 rarr S_3$
Ma, se un generico elemento di $C_3$ è $a^m$ con $m= 0,1,2$, come indico invece un generico elemento di $S_3$?
Poi come devo proseguire?
Grazie mille per l'aiuto.
Buona serata
a) Costruire una rappresentazione regolare destra per G
b) Analoga richiesta ma con un diverso ordinamento del gruppo
c) Dimostrare che si ottiene lo stesso gruppo di permutazione
d) Esiste una relazione tra le permutazioni ottenute nei due casi? Se sì, quale?
RISOLUZIONE
Beh, non che abbia risolto granchè, finora...
Lasciando momentaneamente perdere i punti c) e d) (che sono troppo oltre per me)...
$C_3 = {1_G, a,a^2}$
Allora, io devo costruire un rappresentazione regolare destra per $C_3$ cioè un isomorfismo tra $C_3$ e il gruppo simmetrico $S_3$:
$phi: C_3 rarr S_3$
Ma, se un generico elemento di $C_3$ è $a^m$ con $m= 0,1,2$, come indico invece un generico elemento di $S_3$?
Poi come devo proseguire?
Grazie mille per l'aiuto.
Buona serata
Risposte
Quello che devi fare è costruire una rappresentazione di tipo permutazionale (cioè un'azione) a destra di [tex]C_3[/tex] su un qualche insieme [tex]X[/tex] che sia regolare, cioè transitiva con stabilizzatori ridotti al solo elemento neutro. Come immagino tu sappia, questo è possibile solo se [tex]X[/tex] ha la stessa cardinalità del gruppo che agisce, [tex]C_3[/tex], quindi scegliamo [tex]X=\{1,2,3\}[/tex]. Devi costruire un'azione transitiva di [tex]C_3[/tex] su [tex]\{1,2,3\}[/tex].
Per quanto riguarda il resto, penso di capire cosa si intenda, ma preferisco chiedertelo lo stesso: cos'è un "ordinamento" di un gruppo?
Per quanto riguarda il resto, penso di capire cosa si intenda, ma preferisco chiedertelo lo stesso: cos'è un "ordinamento" di un gruppo?
"Martino":
Quello che devi fare è costruire una rappresentazione di tipo permutazionale (cioè un'azione) a destra di [tex]C_3[/tex] su un qualche insieme [tex]X[/tex] che sia regolare, cioè transitiva con stabilizzatori ridotti al solo elemento neutro. Come immagino tu sappia, questo è possibile solo se [tex]X[/tex] ha la stessa cardinalità del gruppo che agisce, [tex]C_3[/tex], quindi scegliamo [tex]X=\{1,2,3\}[/tex]. Devi costruire un'azione transitiva di [tex]C_3[/tex] su [tex]\{1,2,3\}[/tex].
Per quanto riguarda il resto, penso di capire cosa si intenda, ma preferisco chiedertelo lo stesso: cos'è un "ordinamento" di un gruppo?
Ciao. Innanzitutto grazie per la risposta, e scusa se non mi sono fatta viva ieri
.sai qual è la cosa strana? Che questo esercizio ci è stato assegnato molto prima di aver affrontato i concetti di azione, sottogruppo stabilizzatore, orbite ecc ecc.
Probabilmente è per questo che l'esercizio mi ha messa così in crisi...
Ci tornerò su più avanti, quando sarò più ferrata su quei concetti; inutile farti perdere tempo ora
Grazie comunque, e a presto.
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