Radici primitive dell'unità
Mi sono imbattuto in $2$ definizioni diverse di radici primitive dell'unità (nei numeri complessi)
1) è una radice primitiva dell'unità $n-$esima, quella per cui possiamo ottenere, dalle sue potenze tutte le radici $n-$esime delle unità. esempio: se $r$ è radice primitiva dell'unità, allora $r^1,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},r^n$ formano tutte le radici $n-$esime dell'unità (e $r^n=1$).
In particolare, se $\omega$ è la radice $n-$esima "più piccola", ossia $e^{i\frac{2\pi}{n}$, tutte le radici primitive sono della forma $\omega^{k}$, con $(n,k)=1$.
E, se $r$ è una radice primitiva, dev'essere $r^{i}\ne 1$ per ogni $i=1,2,\cdots ,n-1$.
2)per introdurre i polinomi ciclotomici, in una lezione è stata definita una radice primitiva dell'unità di ordine $d$ (con $d$ divisore di $n$), che chiamiamo $r$, una radice $n-$ esima dell'unità tale che $r^d=1$ e $r^i\ne1$ per ogni $i=1,2,\cdots,d-1$.
Secondo questa definizione tutte le radici $n-$esime dell'unità sono radici primitive (con ordini diversi chiaramente).
Evidentemente non sono definizioni equivalenti.
Forse è sbagliata la terminologia usata in 2)?
1) è una radice primitiva dell'unità $n-$esima, quella per cui possiamo ottenere, dalle sue potenze tutte le radici $n-$esime delle unità. esempio: se $r$ è radice primitiva dell'unità, allora $r^1,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},r^n$ formano tutte le radici $n-$esime dell'unità (e $r^n=1$).
In particolare, se $\omega$ è la radice $n-$esima "più piccola", ossia $e^{i\frac{2\pi}{n}$, tutte le radici primitive sono della forma $\omega^{k}$, con $(n,k)=1$.
E, se $r$ è una radice primitiva, dev'essere $r^{i}\ne 1$ per ogni $i=1,2,\cdots ,n-1$.
2)per introdurre i polinomi ciclotomici, in una lezione è stata definita una radice primitiva dell'unità di ordine $d$ (con $d$ divisore di $n$), che chiamiamo $r$, una radice $n-$ esima dell'unità tale che $r^d=1$ e $r^i\ne1$ per ogni $i=1,2,\cdots,d-1$.
Secondo questa definizione tutte le radici $n-$esime dell'unità sono radici primitive (con ordini diversi chiaramente).
Evidentemente non sono definizioni equivalenti.
Forse è sbagliata la terminologia usata in 2)?
Risposte
Concordo a pieno con la prima definizione. Nella seconda definizione io chiamerei la $r$ che definisci radice $n$-esima di ordine $d$ e la chiamerei primitiva se e' $n$-esima di ordine $n$. Cosi' coincide con la prima definizione.
Solo un dettaglio. Non ha particolarmente senso dire che $\omega = exp(2i \pi/n)$ e' la radice "piu' piccola". Lei e tutte le sue potenze hanno norma $1$. Inoltre, se $k$ e $n$ sono coprimi, allora $\omega^k = exp(2i k\pi/ n)$ ha la stessa dignita' di "radice piccola" $exp(2i \pi/n)$; anche lei e' primitiva e anche lei genera il gruppo moltiplicativo cosi' come $\omega$. Insomma, ci piace di piu' $\omega$ solo perche' ci piace partire a misurare gli angoli sul piano complesso dall'asse reale positivo, ma e' una scelta totalmente arbitraria.
Solo un dettaglio. Non ha particolarmente senso dire che $\omega = exp(2i \pi/n)$ e' la radice "piu' piccola". Lei e tutte le sue potenze hanno norma $1$. Inoltre, se $k$ e $n$ sono coprimi, allora $\omega^k = exp(2i k\pi/ n)$ ha la stessa dignita' di "radice piccola" $exp(2i \pi/n)$; anche lei e' primitiva e anche lei genera il gruppo moltiplicativo cosi' come $\omega$. Insomma, ci piace di piu' $\omega$ solo perche' ci piace partire a misurare gli angoli sul piano complesso dall'asse reale positivo, ma e' una scelta totalmente arbitraria.
Sì, dopo un po' ero arrivato alla stessa conclusione anch'io.
Avevo dato per scontato che quando veniva affermato -radice primitiva di ordine $d$- fosse inteso il fatto che fosse $n-$esima. Invece bastava sostituire "di ordine $d$" con "n-esima" e i conti tornavano.
Avevo dato per scontato che quando veniva affermato -radice primitiva di ordine $d$- fosse inteso il fatto che fosse $n-$esima. Invece bastava sostituire "di ordine $d$" con "n-esima" e i conti tornavano.
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