Radici primitive dell'unità

[Linux1987]

Fissato $N$ risulta che $\omega_N$ è una radice N-sima dell'unità primitiva, dove $\omega_N=e^(i2\pi/N)$.
Ma risulta una radice N-sima dell'unità primitiva anche $(\omega_N)^(-1)=e^(-i2\pi/N) $. Perche?

[Linux1987]

Qualcuno mi da una mano?

[Studente Anonimo]

[xdom="Martino"]Per favore ricorda che da regolamento per gli UP bisogna aspettare almeno 24 ore. Grazie.[/xdom]

[Linux1987]

C'è qualcuno che può aiutarmi?

[Studente Anonimo]

Se [tex]g[/tex] è un elemento di un qualsiasi gruppo moltiplicativo finito allora i due elementi [tex]g[/tex] e [tex]g^{-1}[/tex] hanno lo stesso ordine. Infatti se [tex]g^n=1[/tex] allora [tex](g^{-1})^n = (g^n)^{-1} = 1^{-1} = 1[/tex] e viceversa, se [tex](g^{-1})^n=1[/tex] allora [tex]g^n = ((g^{-1})^n)^{-1} = 1^{-1} = 1[/tex]. Questo è un fatto elementare che si trova in qualsiasi testo di algebra.

[Linux1987]

Si è soliti prendere nella determinazione delle radici di un numero complesso $ k=0..N-1$, ma sappiamo che questo è solo un modo semplice di scegliere $k$, in quanto è sufficiente che i valori di $k$ siano consecutivi e che k∈Z . Se si sceglie
$k=-1,0,1,..,M-2$ otteniamo che per$ k=-1$, la formula che ci consente di calcolare le radici dell’unità , ovvero
$ e^(i2πk/M)$, diviene $e^(-i2π/M)$. Adesso la proprietà che caratterizza una primitiva è che il $MCD(k,M)=1$, ma essendo $k=-1$, allora si ha che $MCD(-1,M)=1 ∀ M∈N$.

Che ne pensi @Martino?

[Studente Anonimo]

Capisco l'idea, ma non considero quello che hai scritto una dimostrazione: a mio parere manca il dettaglio concettuale importante, che ritengo essere quello che ho scritto nel mio precedente intervento.

[Linux1987]

scusami , però penso che di fatto anche la mia sia una dimostrazione in quanto basata sulla definizione di un teorema che permette di identificare le primitive.

[Studente Anonimo]

"pasqualinux":scusami , però penso che di fatto anche la mia sia una dimostrazione in quanto basata sulla definizione di un teorema che permette di identificare le primitive.

E' un po' come se dicessi "è vero perché è vero". I teoremi vanno dimostrati. Io non so cosa puoi usare tu per risolvere l'esercizio. Se ti senti a posto con la coscienza nell'utilizzare il tuo teorema siamo tutti contenti, ma qui non credo che stiamo parlando di coscienza, spero che stiamo parlando di capire le cose a livello concettuale.

[Linux1987]

mmmmm ho capito cosa intendi !!