Radici polinomio secondo grado
Salve ragazzi! 
Stavo pensando ad una cosa, forse stupida, ma se mi trovo su $ZZ _2$ e ho un polinomio di secondo grado, esiste una "formula" , come quella usata con il discriminante quando stiamo su $RR$ o su $CC$ ?
Grazie a tutti!
Stavo pensando ad una cosa, forse stupida, ma se mi trovo su $ZZ _2$ e ho un polinomio di secondo grado, esiste una "formula" , come quella usata con il discriminante quando stiamo su $RR$ o su $CC$ ?
Grazie a tutti!
Risposte
un po riadattata forse sì. Ma onestamente, non ti serve. La soluzione la trovi, se esiste, velocemente per sostituzione, visto che $ZZ_2$ ha due elementi.
Questo pure è vero!
Certamente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado vale nella stessa forma su tutti i campi di caratteristica diversa da $2$ ($2a$ a denominatore in caratteristica $2$ darebbe non pochi problemi).
Non so se con qualche riadattamento si può usare su campi di caratteristica $2$. In particolare su $\ZZ_2$ si fa certamente prima a provare per sostituzione (anzi, ancora meglio, a contare i monomi). Però per campi di caratteristica $2$ grandi non so come si può fare.
Non so se con qualche riadattamento si può usare su campi di caratteristica $2$. In particolare su $\ZZ_2$ si fa certamente prima a provare per sostituzione (anzi, ancora meglio, a contare i monomi). Però per campi di caratteristica $2$ grandi non so come si può fare.
"Pappappero":
[...]
Non so se con qualche riadattamento si può usare su campi di caratteristica $2$. In particolare su $\ZZ_2$ si fa certamente prima a provare per sostituzione (anzi, ancora meglio, a contare i monomi). Però per campi di caratteristica $2$ grandi non so come si può fare.
Infatti! Se stiamo tipo $ ZZ_128$ diventa un pò difficile mettersi a sostituire!
Sebbene con attenzione ai quozienti e a come si può invertire, qualcosa si riesca a dire, ricordiamoci che $\ZZ_{128}$ non è un campo!
Comunque sempre in caratteristica $2$ non mi preoccupo di campi finiti per cui tutto sommato sostituire è sempre una buona tecnica: più che altro mi interesserebbe capire se c'è una formula su campi di caratteristica $2$ che sono infiniti (ad esempio la chiusura algebrica di $\ZZ^2$, per dirne uno).
Comunque sempre in caratteristica $2$ non mi preoccupo di campi finiti per cui tutto sommato sostituire è sempre una buona tecnica: più che altro mi interesserebbe capire se c'è una formula su campi di caratteristica $2$ che sono infiniti (ad esempio la chiusura algebrica di $\ZZ^2$, per dirne uno).
"Pappappero":
Sebbene con attenzione ai quozienti e a come si può invertire, qualcosa si riesca a dire, ricordiamoci che $\ZZ_{128}$ non è un campo!
Perché non potrei pensare di lavorare su di un anello?
certo che puoi lavorare su un anello, ma occhio, se $ZZ_n$ non è un campo, i polinomi di $ZZ_n[x]$ di grado 2 possono avere più di due radici.
"Kashaman":
certo che puoi lavorare su un anello, ma occhio, se $ZZ_n$ non è un campo, i polinomi di $ZZ_n[x]$ di grado 2 possono avere più di due radici.
Potresti fare un esempio?
prendi $x^2+1$ di $ZZ_8$ ad esempio
Quindi, intendi dire, che non avrebbe senso considerare la formula con il discriminante? Mmmm.. non posso darti torto!
Purtroppo sui campi infinito con caratteristica che non sia nulla, ne so ben poco...
Purtroppo sui campi infinito con caratteristica che non sia nulla, ne so ben poco...
"Kashaman":
prendi $x^2+1$ di $ZZ_8$ ad esempio
Non mi ritrovo in questo esempio: perché questo polinomio ha più di $2$ radici in $\ZZ_8$ (non vorrei sbagliare ma mi pare non ne abbia neanche una)?
Un esempio calzante secondo me potrebbe essere $(x+1)(x+2)$ in $\ZZ_6$, che ha come radici $1,4,5$.
Comunque la formula con il discriminante vale, laddove non ci sono problemi nel definirla. Ovvero: hai un polinomio di secondo grado su un anello qualsiasi $A$ (finito, infinito, bello, brutto; continuiamo a evitare la caratteristica $2$ (o comunque anelli con elementi di periodo additivo pari) per non incorrere in catastrofi, ma per il resto prendiamolo come ci pare); calcoli il suo $\Delta$ (esattamente come nel caso dei numeri reali). Noi diciamo $\pm \sqrt(\Delta)$ quando siamo sui reali/complessi, ma in realtà ci va bene qualunque radice del polinomio $x^2 - \Delta$. Quindi su un anello qualsiasi, qualunque soluzione $\delta$ del polinomio $x^2 - \Delta = 0$ dà vita a una radice del polinomio di partenza con la classica formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
In effetti nel caso in cui ci siano elementi di ordine pari succedono cose strane:
Il polinomio dell'esempio di prima, facendo i conti è $x^2 + 3x +2$. Il suo $\Delta$ è $1$. In $\ZZ_6$, $x^2 - 1$ ha come soluzioni solo $1,-1$. In effetti però non si può usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, perché a denominatore abbiamo $2a$, che in $\ZZ_6$ si guarda bene dall'essere invertibile.
Chi è che ne sa di più su questa cosa?
Sarà banale ma non "vedo" oltre due radici...
Edit: scusate non avevo visto il post precedente al mio
; mi riferivo al polinomio [tex]x^2 + 1[/tex]
Edit: scusate non avevo visto il post precedente al mio
; mi riferivo al polinomio [tex]x^2 + 1[/tex]
"Pappappero":Ho paura che se il campo finito è "grande" andare a tentativi non sia praticabile, e comunque se per caso il polinomio è irriducibile, come fa uno ad "esprimere" una soluzione? L'unica cosa che mi viene in mente è che uno prende una radice (che sa esistere) e ricava l'altra in funzione di questa. La domanda semmai (per come la vedo io) è: come si fa a capire se un polinomio di grado 2 su un campo di caratteristica 2 è irriducibile o meno? Non lo so, sinceramente.
Comunque sempre in caratteristica $2$ non mi preoccupo di campi finiti per cui tutto sommato sostituire è sempre una buona tecnica
Quello che ho trovato su internet è questo per quanto riguarda i campi finiti (occhio perché il problema proposto in questo link è mal posto: il campo L va preso finito, cf. i commenti).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo