Radici di un polinomio: complesse e coniugate
Sia $a(x) in K[x]$ un polinomio ad una indeterminata e a coefficienti in un campo $K$. $a(x)$ ammette insieme con ogni sua radice complessa anche la complessa coniugata: $AArho in CC | a(rho)=0 => a(bar(rho))=0$.
Sia $phi: CC -> CC$ la funzione coniugio definita come $phi(z)=bar(z)$ per $AAz in CC$; $phi : CC -> CC$ è un automorfismo del campo $CC$ in se che lascia invariato il sotto campo $RR$ tale che $phi(x)=x$ per $AAx in RR$.
Allora si ha che se $a(rho)=0$ allora $phi(a(rho))=phi(0)$, quindi da $phi(a(rho))=a(phi(rho))=a(bar(rho))$ abbiamo che $phi(rho)=0 => a(bar(rho))=0$.
Come esempio posso usare il seguente polinomio $a(x)=x^2+2x+8$ e far vedere che trovando le due radici, una è la coniugata dell'altra? Cioè $x_1=-1+i*sqrt(7)$ e $x_2=-1-i*sqrt(7)$ ?
Sia $phi: CC -> CC$ la funzione coniugio definita come $phi(z)=bar(z)$ per $AAz in CC$; $phi : CC -> CC$ è un automorfismo del campo $CC$ in se che lascia invariato il sotto campo $RR$ tale che $phi(x)=x$ per $AAx in RR$.
Allora si ha che se $a(rho)=0$ allora $phi(a(rho))=phi(0)$, quindi da $phi(a(rho))=a(phi(rho))=a(bar(rho))$ abbiamo che $phi(rho)=0 => a(bar(rho))=0$.
Come esempio posso usare il seguente polinomio $a(x)=x^2+2x+8$ e far vedere che trovando le due radici, una è la coniugata dell'altra? Cioè $x_1=-1+i*sqrt(7)$ e $x_2=-1-i*sqrt(7)$ ?
Risposte
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Il ragionamento sta in piedi se prendi $RR$ come campo.
Se invece ad esempio prendi $CC$ non è vero.
Un polinomio $p(x) in CC[x]$ non ha in generale radici complesse coniugate
Prendi $p(x)=x^2 -ix$
$p$ ha come radici $0$ e $i$, che non sono complesse coniugate
Più precisamente, vale il seguente:
Ora, preso $q(x) in RR[x]$, il suo polinomio coniugato è $q(x)$ stesso.
Dunque se $q$ ha una radice $rho in CC$, anche $bar(rho)$ è una sua radice.
Se invece ad esempio prendi $CC$ non è vero.
Un polinomio $p(x) in CC[x]$ non ha in generale radici complesse coniugate
Prendi $p(x)=x^2 -ix$
$p$ ha come radici $0$ e $i$, che non sono complesse coniugate
Più precisamente, vale il seguente:
Consideriamo $p(x) in CC[x]$.
Sia $barp (x)$, il coniugato di $p(x)$, ovvero il polinomio ottenuto da $p(x)$ sostituendo i coefficienti di $p(x)$ con i loro complessi coniugati.
Allora $alpha in CC$ è radice di $p(x)$ se e solo se $bar(alpha)$ è radice di $bar(p)(x)$
Ora, preso $q(x) in RR[x]$, il suo polinomio coniugato è $q(x)$ stesso.
Dunque se $q$ ha una radice $rho in CC$, anche $bar(rho)$ è una sua radice.
Ok, quindi l'esempio può andare a patto di supporre $RR$ il campo di appartenenza dei coefficienti.
Esatto. In generale un qualunque polinomio di secondo grado a coefficienti in $RR$ con $Delta$ negativo ha come radici due numeri complessi coniugati tra loro
Ok, grazie Gi per la spiegazione; il dubbio nasceva dal fatto di essermi creato un esempio ad hoc che soddisfaceva quell'enunciato, ma non ero sicuro che fosse corretto proprio perché avevo scelto un polinomio di 2° con discriminante negativo.
Grazie ancora
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