Radici di un polinomio.
Salve ragazzi , sono alle prese con il seguente esercizio di algebra 1 con alcuni dubbi.
Esercizio :
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tracce/traccia_30.pdf
Il numero tre.
Per il punto a chiede di trovare tutte le radici in $ZZ_43$
e al punto b in $ZZ_7$.
Io ho ragionato cosi, poichè i polinomi sono definiti in un campo finito, allora avranno al piu n soluzioni, ove n indica l'ordine del gruppo. Per il punto ho ragionato cosi : sia k una ipotetica radice, allora k è strettamente minore di 43 e strettamente maggiore di Zero. Poichè M.c.D ( k, 43)= 1, allora $k^3528$ $-=$ 1 (mod 43). Ove per il teorema di Fermat, $k^3528$ $-=$$k^43$(mod43). Ed è qui che mi blocco, penso di avere un difetto nel ragionamento. questo processo risolutivo porta a un qualcosa o sono completamente fuori strada?
Esercizio :
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tracce/traccia_30.pdf
Il numero tre.
Per il punto a chiede di trovare tutte le radici in $ZZ_43$
e al punto b in $ZZ_7$.
Io ho ragionato cosi, poichè i polinomi sono definiti in un campo finito, allora avranno al piu n soluzioni, ove n indica l'ordine del gruppo. Per il punto ho ragionato cosi : sia k una ipotetica radice, allora k è strettamente minore di 43 e strettamente maggiore di Zero. Poichè M.c.D ( k, 43)= 1, allora $k^3528$ $-=$ 1 (mod 43). Ove per il teorema di Fermat, $k^3528$ $-=$$k^43$(mod43). Ed è qui che mi blocco, penso di avere un difetto nel ragionamento. questo processo risolutivo porta a un qualcosa o sono completamente fuori strada?
Risposte
L'idea è giusta, ma la applichi sbagliata. Il teorema di Fermat dice che [tex]x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb Z / p \mathbb Z[/tex], [tex]\overline{x} \ne \overline{0}[/tex]. Quindi, siccome [tex]3528 = 42 \cdot 84[/tex] otteniamo che [tex]k[/tex] è soluzione se e solo se [tex]k^{3528} + x - 36 \equiv 0 \pmod{43} \iff 1 + x - 36 \equiv 0 \pmod{43}[/tex] (osservato preliminarmente che [tex]0[/tex] non è soluzione). L'altro caso è completamente analogo.
Se ho ben capito, si usa Fermat per trovaregli elementi invertibili in $ZZ_43$. In questo caso (caso a) $x^(43-1)$$-=$$1(mod43)$.
Dopo di che constato che $k^3528$$-=$$k^0$(mod43)$-=$1(mod43) da cui ho
1+x-36=0 <=> x=35 ( che è soluzione in $ZZ_43$ giusto?
Però questo procedimento non dice nullacirca l'esistenza della radice, posso dunque trovarmi in una situazione in cui,ottengo un possibile valore, ma quel valore, non è radice del polinomio,giusto?
Dopo di che constato che $k^3528$$-=$$k^0$(mod43)$-=$1(mod43) da cui ho
1+x-36=0 <=> x=35 ( che è soluzione in $ZZ_43$ giusto?
Però questo procedimento non dice nullacirca l'esistenza della radice, posso dunque trovarmi in una situazione in cui,ottengo un possibile valore, ma quel valore, non è radice del polinomio,giusto?
No, no ti dice proprio tutto. Scusa eh: fissa [tex]k \in \mathbb Z_{43}[/tex], qualsiasi. Appurato che [tex]k = 0[/tex] non è soluzione della tua equazione, possiamo supporre [tex]k \ne 0[/tex] e quindi applicare Fermat: [tex]k^{3528} + k - 36 = 1 + k - 36 = k -35[/tex]. Quindi il primo membro è zero se e solo se lo è l'ultimo e pertanto ottieni che [tex]k = 35[/tex] è l'unica soluzione!
ora mi è tutto piu chiaro grazie mille!
Prego! 
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