Radici di un polinomio

[luciavirgi1]

Buona giornata. Potreste illustrarmi dei metodi risolutivi per il seguente quesito?

Sia $a$ un intero positivo e sia $p$ un primo positivo. Si consideri il polinomio
$f(x) = x^p + x + [a]_p in ZZ_p[x]$.

(a) Dire per quali $a$ e $p$ il polinomio $f(x)$ ammette almeno una radice in $ZZ_p$
(b) Dire per quali $a$ e $p$ tale radice è unica.
(c) Nel caso in cui $p=101$ ed $a=270$, determinare tutte le radici di $f(x)$ in $ZZ_101$.

Un'alta cosa che vorrei sapere è la seguente: per svolgere questo tipo di esercizio si utilizza un metodo standard o per ogni esercizio bisogna utilizzare un ragionamento diverso?

Grazie in anticipo per l'aiuto

[Pappappero1]

Hint1: In $\ZZ_p$, in $\ZZ_p [x]$ e in ogni anello commutativo in cui $p \cdot 1 = 0$, si ha che $(a+ b) ^p = a^p + b^p$. La dimostrazione di questo fatto usa lo sviluppo di quella potenza con il binomio di Newton.

Hint2: Piccolo Teorema di Fermat: Per ogni $b \in \ZZ$ tale che $b$ e $p$ sono coprimi, si ha $b^{p-1} \simeq 1 \mod p$. In particolare, in $\ZZ_p$, la classe di $b$ è invertibile, il suo inverso è $b^{p-2}$ e $b^p = b$.

Con questi due fatti la prima e la seconda domanda dovrebbero non essere troppo difficili. Per la terza, al momento mi viene in mente solo una soluzione in cui si fanno un sacco di conti. Ma probabilmente scrivendo bene le prime due viene fuori qualcosa di bellino.