Radicali....liberi...
A parte gli scherzi ho provato a risolvere questo quesito:
dimostrare che per ogni intero n>=1, il numero reale sqrt(4n-1) è irrazionale: sqrt(4n-1)=a / a appartiene ad N.
4n=a^2+1, che non ha sluzioni al'interno dell'insieme N, dato che il primo membro è sempre multiplo di 4, mentre il secondo o è dispari o, se è pari, non è multiplo di 4. In questo modo non si hanno soluzioni intere. cosa ne dite?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
dimostrare che per ogni intero n>=1, il numero reale sqrt(4n-1) è irrazionale: sqrt(4n-1)=a / a appartiene ad N.
4n=a^2+1, che non ha sluzioni al'interno dell'insieme N, dato che il primo membro è sempre multiplo di 4, mentre il secondo o è dispari o, se è pari, non è multiplo di 4. In questo modo non si hanno soluzioni intere. cosa ne dite?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Risposte
OK.
Scusa ma non ho capito cosa hai fatto!
Innanzitutto: vuoi dimostrare che sqrt(4*n+1) o sqrt(4*n-1) è irrazionale?
Inoltre: Tu hai scritto: sqrt(4*n-1)=a con a naturale; ma dovresti scrivere: sqrt(4*n-1)=p/q con p,q interi coprimi.
Saluti.
Woody
Innanzitutto: vuoi dimostrare che sqrt(4*n+1) o sqrt(4*n-1) è irrazionale?
Inoltre: Tu hai scritto: sqrt(4*n-1)=a con a naturale; ma dovresti scrivere: sqrt(4*n-1)=p/q con p,q interi coprimi.
Saluti.
Woody
Boh non lo so io ho provato quello che mi veniva in mente, ma in realtà io non ho mai studiato niente di ciò a scuola, quindi se mi illuminassi mi faresti un piacere..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Poniamo per assurdo: sqrt(4*n-1)=p/q con p,q coprimi. Allora:
4*n-1=p^2/q^2 --> (4*n-1)*q^2=p^2 . Poichè p,q coprimi risulta:
p^2 divide 4*n-1; tuttavia evidentemente 4*n-1 divide p^2; dunque:
4*n-1 = p^2 ; segue, per il ragionamento che avevi già fatto, che:
p^2 = -1 mod4 ; ma non esiste un numero intero n tale che n^2 = -1 mod4. Assurdo. CVD.
Ciao!
Woody
4*n-1=p^2/q^2 --> (4*n-1)*q^2=p^2 . Poichè p,q coprimi risulta:
p^2 divide 4*n-1; tuttavia evidentemente 4*n-1 divide p^2; dunque:
4*n-1 = p^2 ; segue, per il ragionamento che avevi già fatto, che:
p^2 = -1 mod4 ; ma non esiste un numero intero n tale che n^2 = -1 mod4. Assurdo. CVD.
Ciao!
Woody
Forse ho capito, ma vorrei essere sicuro di una cosa: cosa significa esattamente che due numeri sono coprimi?
Grazie..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Grazie..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Coprimi = primi tra di loro
quote:
Originally posted by Woody
Poichè p,q coprimi risulta:
p^2 divide 4*n-1; tuttavia evidentemente 4*n-1 divide p^2; dunque:
4*n-1 = p^2 ; segue, per il ragionamento che avevi già fatto, che:
p^2 = -1 mod4 ; ma non esiste un numero intero n tale che n^2 = -1 mod4. Assurdo. CVD.
Ciao!
Woody
Da qui in poi mi torna difficile seguirti, soprattutto all'inizio non capisco che passaggi fai. Magari dai per scontato delle cose che io non so, dato che per me sono cose nuove.. Ti ringrazio per la pazienza[:I]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
L'eguaglianza (4n-1)q^2=p^2 si puo' scrivere in due modi diversi:
1° [(4n-1)q^2]/(p^2)=1
Da qui si vede che,essendo il secondo membro intero,lo deve essere
anche il primo.Cio' implica che p^2 divida esattamente il numeratore
e poiche' p^2 non puo' dividere q^2 in quanto p e q sono primi tra
loro ne segue che p^2 deve dividere 4n-1.
2° p^2/(4n-1)=q^2.Anche qui ,essendo il secondo membro intero,ne viene che (4n-1) deve dividere esattamente p^2.
In conclusione l'uno divide l'altro esattamente e percio'
p^2=4n-1 (e quindi q=1).
Quest'ultima eguaglianza ci dice che il resto della divisione
di p^2 per n e' -1 mentre il quoziente e' 4.Nella teoria delle
congruenze cio' si esprime col dire che p^2 e' congruo a -1
modulo 4, ma dalla stessa teoria si ricava che nessun numero
al quadrato ha questa proprieta'(in altre parole 4n-1 non
puo' essere un quadrato perfetto) e dunque sqrt(4n-1) non puo'
essere razionale ne' tantomeno intero.
Ciao.
P.S.
Se vuoi inoltrarti nel difficile campo della Teoria dei Numeri
(oltre che frequentare questo ottimo sito ) vai anche sul
Forum delle olimpiadi delle matematiche.
1° [(4n-1)q^2]/(p^2)=1
Da qui si vede che,essendo il secondo membro intero,lo deve essere
anche il primo.Cio' implica che p^2 divida esattamente il numeratore
e poiche' p^2 non puo' dividere q^2 in quanto p e q sono primi tra
loro ne segue che p^2 deve dividere 4n-1.
2° p^2/(4n-1)=q^2.Anche qui ,essendo il secondo membro intero,ne viene che (4n-1) deve dividere esattamente p^2.
In conclusione l'uno divide l'altro esattamente e percio'
p^2=4n-1 (e quindi q=1).
Quest'ultima eguaglianza ci dice che il resto della divisione
di p^2 per n e' -1 mentre il quoziente e' 4.Nella teoria delle
congruenze cio' si esprime col dire che p^2 e' congruo a -1
modulo 4, ma dalla stessa teoria si ricava che nessun numero
al quadrato ha questa proprieta'(in altre parole 4n-1 non
puo' essere un quadrato perfetto) e dunque sqrt(4n-1) non puo'
essere razionale ne' tantomeno intero.
Ciao.
P.S.
Se vuoi inoltrarti nel difficile campo della Teoria dei Numeri
(oltre che frequentare questo ottimo sito ) vai anche sul
Forum delle olimpiadi delle matematiche.
soltanto con il primo modo si puo dimostrare uguale? non mi sembra che alla fina sia dimostrata la tesi.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Io ho solo cercato di spiegare quello che aveva scritto
Woody.Se poi vuoi dire che la tesi non e' dimostrata
perche si e' fatto ricorso ad un altro teorema [il quadrato
di un intero non e'mai congruo a -1 mod(4)] allora hai ragione.
In tal caso e' sufficiente prendere un testo di teoria
dei numeri e leggersi il capitolo specifico.
Incidentalmente gli interi della forma 4n+1 possono soddisfare invece
per particolari valori di n (ad es.n=2,n=12) la condizione richiesta.
Ciao.
Woody.Se poi vuoi dire che la tesi non e' dimostrata
perche si e' fatto ricorso ad un altro teorema [il quadrato
di un intero non e'mai congruo a -1 mod(4)] allora hai ragione.
In tal caso e' sufficiente prendere un testo di teoria
dei numeri e leggersi il capitolo specifico.
Incidentalmente gli interi della forma 4n+1 possono soddisfare invece
per particolari valori di n (ad es.n=2,n=12) la condizione richiesta.
Ciao.
dove posso trovare un testo del genere? anche un e-book o roba multimediale..
grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Prova a questo indirizzo:
http://www.mathology.net/mathology/vis_ ... &sez=Tutte
Altro materiale puoi trovarlo facendo un ricerca con Google
sotto la voce "teoria dei numeri " o "number theory".
Ciao.
http://www.mathology.net/mathology/vis_ ... &sez=Tutte
Altro materiale puoi trovarlo facendo un ricerca con Google
sotto la voce "teoria dei numeri " o "number theory".
Ciao.
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