Radicale di un ideale
Stavo dimostrando le proprieà del radicale $fr{r}$ di un ideale, sono riuscito a completare tutte le dimostrazioni tranne questa:
$fr{r}(fr{a}+fr{b})=fr{r}(fr{r}(fr{a})+fr{r}(fr{b}))$ con $fr{a},fr{b}$ ideali, non riesco a procedere per nessuna delle due inclusioni, qualcuno potrebbe aiutarmi?
$fr{r}(fr{a}+fr{b})=fr{r}(fr{r}(fr{a})+fr{r}(fr{b}))$ con $fr{a},fr{b}$ ideali, non riesco a procedere per nessuna delle due inclusioni, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Ecco cosa ho pensato:
$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.
$(\subseteq)$. Se $a \in \sqrt{I+J}$ allora $a^n \in I+J$ per qualche $n \in NN$, quindi $a^n=i+j$ per qualche $i \in I,\ j \in J$. Poiché $I \subseteq \sqrt{I}$ e $J \subseteq \sqrt{J}$, hai che $a^n \in \sqrt{I}+\sqrt{J}$. Quindi $a \in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.
$(\supseteq)$. Se $a \in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$ allora $a^n=t+s$ con $t^m \in I$ e $s^m \in J$ (avendo scelto lo stesso m per entrambi). Ora $(t+s)^{2m}=\sum_{i=0}^{2m} ((2m),(i)) t^is^{2m-i} \in I+J$ perché ogni termine della somma è diviso da una potenza del tipo $b^k$ con $b \in {t,s}$ e $k \geq m$. Quindi $a^{2mn}=(t+s)^{2m} \in I+J$, quindi $a \in \sqrt{I+J}$.
$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.
$(\subseteq)$. Se $a \in \sqrt{I+J}$ allora $a^n \in I+J$ per qualche $n \in NN$, quindi $a^n=i+j$ per qualche $i \in I,\ j \in J$. Poiché $I \subseteq \sqrt{I}$ e $J \subseteq \sqrt{J}$, hai che $a^n \in \sqrt{I}+\sqrt{J}$. Quindi $a \in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.
$(\supseteq)$. Se $a \in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$ allora $a^n=t+s$ con $t^m \in I$ e $s^m \in J$ (avendo scelto lo stesso m per entrambi). Ora $(t+s)^{2m}=\sum_{i=0}^{2m} ((2m),(i)) t^is^{2m-i} \in I+J$ perché ogni termine della somma è diviso da una potenza del tipo $b^k$ con $b \in {t,s}$ e $k \geq m$. Quindi $a^{2mn}=(t+s)^{2m} \in I+J$, quindi $a \in \sqrt{I+J}$.
non sono molto d´accordo sulla seconda inclusione... perché quando si dice che $a^n=i+j$ tu sai che $i in sqrtI$ e $j in sqrtJ$ che é equivalente a dire che esistono $n_i,n_j in mathbb{N}$ tali che $i^{n_i} in I$ e $j^{n_j} in J$ ma non possiamo sapere se esiste un $n=n_j=n_i$ tale che $i^n in I$ e $j^n in J$. Io pensavo di considerare $(a^n)^{n_i+n_j-1}=(i+j)^{n_i+n_j-1}$ e da qui segue il tuo discorso. Cosa ne pensi?
"Raphael":
non possiamo sapere se esiste un $n=n_j=n_i$ tale che $i^n in I$ e $j^n in J$.
Come no? Basta prendere il massimo dei due
Non capisco... 
Ma se considero l´esponente che ho detto io funziona lo stesso no?
Ma se considero l´esponente che ho detto io funziona lo stesso no?
Non lo so, probabilmente sì, devi provare a scrivere lo sviluppo del binomio per vedere se tutto torna.
Comunque io dico questo: se $i^a \in I$ e $j^b \in J$, supponendo a>b, diciamo a=b+c, hai che $j^a=j^{b+c}=j^bj^c \in J$ perché $j^b \in J$ e $j^c$ è un elemento dell'anello. Quindi puoi prendere a invece di b (perché anche $j^a \in J$).
Comunque io dico questo: se $i^a \in I$ e $j^b \in J$, supponendo a>b, diciamo a=b+c, hai che $j^a=j^{b+c}=j^bj^c \in J$ perché $j^b \in J$ e $j^c$ è un elemento dell'anello. Quindi puoi prendere a invece di b (perché anche $j^a \in J$).
hai ragione!! Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo