$R$-omomorfismi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Ho un dubbio che inficia la mia comprensione di questo lemma:
Che cosa mi autorizza a considerare l'applicazione \(R'\to R''\) (1\(\text{}^\text{a}\) riga della dimostrazione) un $R$-omomorfismo, cioè un omomorfismo di anelli che è l'identità su $R$? Allo stesso modo non mi è chiaro come si possa considerare \(\sigma\) un'applicazione $R'$-lineare: per quale motivo non perdo di generalità se penso che per ogni \(x\in M\otimes_{R} R',a\in R'\) si abbia \(\sigma(ax)=a\sigma(x)\)?
Forse gli omomorfismi \(R\to R'\to R''\) si sottintende che siano inclusioni?
Sperando che qualcuno mi aiuti a dissipare un po' di nebbia l@ ringrazio \(\infty\)-mente...

[Leonardo891]

"DavideGenova":un $R$-omomorfismo, cioè un omomorfismo di anelli che è l'identità su $R$

No, assolutamente, per $R$-omomorfismo si intende un omomorfismo di $R$-moduli (non stiamo facendo teoria dei campi ).
Leggi qui: restrizione degli scalari, in particolare dove parla dell'interpretazione funtoriale.
Dovrebbe essere così: date [tex]f \colon R \to R'[/tex], [tex]g \colon R' \to R''[/tex], dati [tex]r \in R, r' \in R'[/tex] si ha
[tex]g(r \cdot r') = g ( f(r) r' )= g(f(r)) g(r') = r \cdot g(r')[/tex].
Non ho letto il resto della dimostrazione (ho poco tempo) e non mi assumo alcuna responsabilità su di essa.
Sperando di non aver detto scemenze, ovviamente.

Edit: che è libro è, tanto per curiosità?

[DavideGenova1]

"Leonardo89":No, assolutamente, per $R$-omomorfismo si intende un omomorfismo di $R$-moduli

Ah, aquí estaba el busilis...
Quindi direi che, con la notazione introdotta, \(\sigma=\text{id}\otimes g\).

"Leonardo89":Edit: che è libro è, tanto per curiosità?

Siegfried Bosch, Algebra.

\(\infty\) grazie!!!

[Leonardo891]

"DavideGenova":Quindi direi che, con la notazione introdotta, \(\sigma=\text{id}\otimes g\).

Esattamente.

"DavideGenova":\(\infty\) grazie!!!

Prego!