R-moduli ciclici

[claudiamatica]

Ciao a tutti, rieccomi

L'esercizio stavolta è il seguente. $R$ anello, e $M$ è un R-modulo.:
Prima parte:
Preso x in M, verificare che $ AN(x)={r in R: rx=0} $ è un ideale di $R$ e che $Rx={rx, r in R}$ è un R-sottomodulo di M. Inoltre: $ R // AN(x) $ e $Rx$ sono isomorfi come R-moduli.

E questo è semplice.
La seconda parte chiede di far vedere che $M$ è ciclico (come R modulo, ovvero c'è un x tale che $M=Rx$) se e solo se esiste un ideale $I$ di $R$ tale che il quoziente $R // I $ è isomorfo a $M$.

Il primo verso è facile, se $M$ è ciclico l'ideale esiste ed è proprio $AN(x)$.
Non so far vedere il viceversa.. perchè non riesco a capire , dall'esistenza dell'ideale e dall'isomorfismo, come tirare fuori un "R-generatore" di $M$.

Consigli e suggerimenti bene accetti,
Claudia

[claudiamatica]

Ok dovrei aver trovato.
Se F è l'isomorfismo tra R/I e M, l' R-generatore di M è F(1). Dalla R-linearità segue che rF(1)=F(r), e al variare di r in R si ottengono tutti gli elementi di M.

Non cancello il thread perchè magari qualcuno è interessato al problema. (Oppure ho sbagliato e qualcuno può correggermi)