Quozienti di Z[x]
Salve a tutti, ho un dubbio per quanto riguarda i quozienti di Z[x].
Essendo Z[x] un UFD ma non un PID non ho tutte le simpatiche proprietà che ho con questi ultimi, e a volte non mi è facile capire come ragionare. Nel caso di Z[x] quozientato l'ideale generato da un polinomio irriducibile, in generale non posso dire che l'ideale è massimale e perciò non posso dire che il quoziente è un campo ($(Z[x]) /(x) ~= Z$, che certo non è un campo), anche se certamente sarà un dominio.
Allora considero un ideale generato da due polinomi (ovviamente irriducibili, altrimenti non avrei nemmeno un dominio) del tipo $(p(x),g(x))$. Visto che sono in Z[x], non posso dividere i polinomi con la divisione euclidea ( e perciò non vale il classico algoritmo di Euclide per l'MCD), ma posso "aggiustare" i coefficenti di grado maggiore in modo da ottenere polinomi di grado sempre minore.
Ad esempio: $p(x)=5x^2+1$ e $g(x)=3x-2$, allora poso fare $3*p(x)-5x*g(x)=10x+3$, che ha grado 1.
Procedendo in questo modo arrivo sempre a una costante, e perciò posso riscrivere l'ideale come $(p(x),g(x),N)$ con N una costante.
Applicando il secondo teorema di omomorfismo ottengo:$(Z[x])/(p(x),g(x),N)~= (ZN[x])/(p(x),g(x))$, dove con ZN si intendono le classi di resto modulo N.
Se N è primo, ZN è un campo e perciò sono in un dominio euclideo, alora applico l'algoritmo di euclide e trovo $MCD(p(x),g(x))$. Se N non è primo, allora non sono nemmeno in un dominio.
La domanda è: dato un ideale generato da due polinomi in Z[x], come faccio a sapere se la costante che troverò alla fine del procedimento sarà un primo o no, e se in ZN[x] (qualora N sia primo) i due polinomi saranno ancora irriducibili? Se trovassi un numero primo con tali proprietà, cosa posso dire sul massimo comun divisore di $(p(x),g(x))$ in ZN[x]? Posso dire che sarà irriducibile?
P.S. scusate le notazioni non proprio correttissime, non sono ancora molto pratico a scrivere matematica sul pc...
Essendo Z[x] un UFD ma non un PID non ho tutte le simpatiche proprietà che ho con questi ultimi, e a volte non mi è facile capire come ragionare. Nel caso di Z[x] quozientato l'ideale generato da un polinomio irriducibile, in generale non posso dire che l'ideale è massimale e perciò non posso dire che il quoziente è un campo ($(Z[x]) /(x) ~= Z$, che certo non è un campo), anche se certamente sarà un dominio.
Allora considero un ideale generato da due polinomi (ovviamente irriducibili, altrimenti non avrei nemmeno un dominio) del tipo $(p(x),g(x))$. Visto che sono in Z[x], non posso dividere i polinomi con la divisione euclidea ( e perciò non vale il classico algoritmo di Euclide per l'MCD), ma posso "aggiustare" i coefficenti di grado maggiore in modo da ottenere polinomi di grado sempre minore.
Ad esempio: $p(x)=5x^2+1$ e $g(x)=3x-2$, allora poso fare $3*p(x)-5x*g(x)=10x+3$, che ha grado 1.
Procedendo in questo modo arrivo sempre a una costante, e perciò posso riscrivere l'ideale come $(p(x),g(x),N)$ con N una costante.
Applicando il secondo teorema di omomorfismo ottengo:$(Z[x])/(p(x),g(x),N)~= (ZN[x])/(p(x),g(x))$, dove con ZN si intendono le classi di resto modulo N.
Se N è primo, ZN è un campo e perciò sono in un dominio euclideo, alora applico l'algoritmo di euclide e trovo $MCD(p(x),g(x))$. Se N non è primo, allora non sono nemmeno in un dominio.
La domanda è: dato un ideale generato da due polinomi in Z[x], come faccio a sapere se la costante che troverò alla fine del procedimento sarà un primo o no, e se in ZN[x] (qualora N sia primo) i due polinomi saranno ancora irriducibili? Se trovassi un numero primo con tali proprietà, cosa posso dire sul massimo comun divisore di $(p(x),g(x))$ in ZN[x]? Posso dire che sarà irriducibile?
P.S. scusate le notazioni non proprio correttissime, non sono ancora molto pratico a scrivere matematica sul pc...
Risposte
Sembra che in generale sia difficile trovare un procedimento algoritmico per trovare $I \cap ZZ$ dato $I$ un ideale di $ZZ[X]$ (è questo che stai chiedendo). Per esempio vedi qui. Avevo posto esattamente questa domanda in MathStackExchange (qui) ma come vedi non ho ricevuto molto riscontro, quindi probabilmente è vero che non è un problema che si sa risolvere algoritmicamente.
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