Quozienti di $RR[x]$ per un polinomio monico quadratico

[Angus1956]

Sia $f in RR[x]$ un polinomio monico quadratico, vedere a cosa è isomorfo $RR[x]_(/(f))$.

Devo studiare i vari casi:
Se $f$ è irriducibile, allora $RR[x]_(/(f))$ dovrebbe essere isomorfo a $CC$, se $f$ ha due fattori lineari distinti oppure se $f$ ha un fattore lineare di molteplicità $2$ in teoria abbiamo polinomi della forma $a+bx$, però effettivamente non riesco a trovare a cosa sono isomorfi... se qualcuno mi sa dire, grazie.

[megas_archon]

A seconda di quanto fa il discriminante \(\Delta f = b^2-4c\) del polinomio \(f(X)=X^2+bX+c\), il quoziente \(\mathbb R[X]/(f)\) è isomorfo a \(\mathbb R\) (se \(\Delta f\ne 0\)), dato che in questo caso $f$ si fattorizza completamente già in \(\mathbb R\) e l'estensione di anelli \(\mathbb R[\alpha,\beta]\) è banale, o all'anello dei numeri duali https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number (se \(\Delta f=0\)), dato che in questo caso \(f\) è il quadrato di un polinomio di grado 1.

[Studente Anonimo]

Ci sono tre casi possibili (a meno di associati), (1) $f$ irriducibile, (2) $f=gh$ con $g,h$ di grado $1$ non associati, e (3) $f=g^2$ con $g$ di grado $1$. Nel primo caso $RR[x]//(f) cong CC$. Nel secondo caso $RR[x]//(f) cong RR xx RR$ per il teorema cinese del resto. Nel terzo caso $RR[x]//(f) cong RR[x]//(x^2)$ (numeri duali).

[Angus1956]

"Martino":Ci sono tre casi possibili (a meno di associati), (1) $f$ irriducibile, (2) $f=gh$ con $g,h$ di grado $1$ non associati, e (3) $f=g^2$ con $g$ di grado $1$. Nel primo caso $RR[x]//(f) cong CC$. Nel secondo caso $RR[x]//(f) cong RR xx RR$ per il teorema cinese del resto. Nel terzo caso $RR[x]//(f) cong RR[x]//(x^2)$ (numeri duali).

Ok, grazie mille