Quoziente di $\mathbb Z^m$
Volevo qualche delucidazione sul gruppo che si ottiene dal quoziente [tex]\mathbb Z^m / \mathbb Z^n[/tex] con [tex]m\geq n[/tex].
Io sono arrivato a trovare che tale quoziente è isomorfo a [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex] ma non ne sono così sicuro. Sapreste aiutarmi?
Io sono arrivato a trovare che tale quoziente è isomorfo a [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex] ma non ne sono così sicuro. Sapreste aiutarmi?
Risposte
Il terzo (mi pare) teorema di isomorfismo che cita:
[tex]\displaystyle \frac{G}{N} \sim \frac{G/K}{N/K}[/tex]
quindi dovresti esserci
[tex]\displaystyle \frac{G}{N} \sim \frac{G/K}{N/K}[/tex]
quindi dovresti esserci
@Injo Ma parli di [tex]$\mathbb{Z}_m=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$[/tex] o delle [tex]$m$[/tex]-pla ordinate di numeri interi?
"j18eos":
@Injo Ma parli di [tex]$\mathbb{Z}_m=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$[/tex] o delle [tex]$m$[/tex]-pla ordinate di numeri interi?
Se così non fosse, avrei preso una cantonata
Intendo le [tex]m[/tex]-ple. 
"Injo":
Intendo le [tex]m[/tex]-ple.
Allora come definisci il quoziente? Una volta fatto la risposta dovrebbe essere immediata!
Sono piuttosto arrugginito.
Io avevo pensato a qualcosa del tipo: [tex](a_1,...,a_m)[/tex] e [tex](b_1,...,b_m)[/tex] sono nella stessa classe d'equivalenza se [tex](a_1,...,a_m)-(b_1,...,b_m)\in \mathbb Z^n[/tex]. Quindi, pensando di identificare una [tex]n[/tex]-pla di [tex]\mathbb Z^n[/tex] con [tex](a_1,...,a_n,0...0)\in\mathbb Z^m[/tex], gli elementi sono nella stessa classe se [tex]a_i=b_i[/tex] per ogni [tex]i\in\{n+1,...,m\}[/tex]. Per questo ho pensato che il gruppo quoziente possa essere isomorfo a [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex].
Io avevo pensato a qualcosa del tipo: [tex](a_1,...,a_m)[/tex] e [tex](b_1,...,b_m)[/tex] sono nella stessa classe d'equivalenza se [tex](a_1,...,a_m)-(b_1,...,b_m)\in \mathbb Z^n[/tex]. Quindi, pensando di identificare una [tex]n[/tex]-pla di [tex]\mathbb Z^n[/tex] con [tex](a_1,...,a_n,0...0)\in\mathbb Z^m[/tex], gli elementi sono nella stessa classe se [tex]a_i=b_i[/tex] per ogni [tex]i\in\{n+1,...,m\}[/tex]. Per questo ho pensato che il gruppo quoziente possa essere isomorfo a [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex].
Ma se [tex]m>n[/tex] come poi dire che [tex](x_1, \cdots x_m) \in \mathbb Z^n[/tex]??? Qui si tratta di chiarire bene le idee prima di proseguire
Quoto LordK ma forse Injo hai le idee chiare ma usi una simbologia ambigua.
Forse :E
Intendo dire che la [tex]n[/tex]-pla [tex](a_1,...,a_n)\in\mathbb Z^n[/tex] la identifico con la [tex]m[/tex]-pla [tex](a_1,...,a_n,k_1,...,k_{m-n})\in\mathbb Z^m[/tex] con [tex]k_1,...,k_{m-n}[/tex] fissati.
Intendo dire che la [tex]n[/tex]-pla [tex](a_1,...,a_n)\in\mathbb Z^n[/tex] la identifico con la [tex]m[/tex]-pla [tex](a_1,...,a_n,k_1,...,k_{m-n})\in\mathbb Z^m[/tex] con [tex]k_1,...,k_{m-n}[/tex] fissati.
Sì, ma volendo che questo [tex]$\mathbb{Z}^m$[/tex] sia un sottogruppo di [tex]$\mathbb{Z}^n$[/tex] quei [tex]$k_h$[/tex] devono essere nulli. Provalo!
Cavolo, è vero. Non ci avevo pensato
Domanda per teste di cavolo (giusto per restare in sintonia): sai concludere l'esercizio?
Ho pensato a qualcosa del genere:
Sia [tex]S=\{(a_1,...,a_n,0,...,0)\in\mathbb Z^m | (a_1,...,a_n)\in\mathbb Z^n \}[/tex]. Allora [tex]S[/tex] è sottogruppo di [tex]\mathbb Z^m[/tex] isomorfo a [tex]\mathbb Z^n[/tex]. In [tex]\mathbb Z^m / \mathbb Z^n[/tex] ci sono le classi d'equivalenza di elementi di [tex]\mathbb Z^m[/tex]; due elementi apparterranno alla medesima classe se la loro differenza sarà in [tex]S[/tex], ovvero se hanno gli elementi [tex]a_{n+1},...,a_m[/tex] uguali. Quindi ho una relazione biunivoca tra le classi e gli elementi di [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex] che risulta essere anche un isomorfismo. Ovvero [tex]\mathbb Z^m / \mathbb Z^n \cong \mathbb Z^{m-n}[/tex].
È corretto?
Sia [tex]S=\{(a_1,...,a_n,0,...,0)\in\mathbb Z^m | (a_1,...,a_n)\in\mathbb Z^n \}[/tex]. Allora [tex]S[/tex] è sottogruppo di [tex]\mathbb Z^m[/tex] isomorfo a [tex]\mathbb Z^n[/tex]. In [tex]\mathbb Z^m / \mathbb Z^n[/tex] ci sono le classi d'equivalenza di elementi di [tex]\mathbb Z^m[/tex]; due elementi apparterranno alla medesima classe se la loro differenza sarà in [tex]S[/tex], ovvero se hanno gli elementi [tex]a_{n+1},...,a_m[/tex] uguali. Quindi ho una relazione biunivoca tra le classi e gli elementi di [tex]\mathbb Z^{m-n}[/tex] che risulta essere anche un isomorfismo. Ovvero [tex]\mathbb Z^m / \mathbb Z^n \cong \mathbb Z^{m-n}[/tex].
È corretto?
Ammesso che tu abbia dimostrato che tale biezione sia un isomorfismo (tra gruppi) è tutto corretto! 
Grazie per l'aiuto. 
Prego, di nulla. 
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