"diagonale" di Cantor

[orazioster]

Pensavo di conoscere bene l'argomentazione
"della diagonale" di Cantor, che prova la non-numerabilità dei reali.
Ma, qualche sera fa, provando a "ricostruirla", mi trovai
di fronte a qualcosa da me inaspettato.

Considero i reali $\in[0,1]$, ed
associo loro i naturali al modo seguente (con un abuso di notazione per i naturali):


$\NN$ ..000 $\RR$0,000...
- ...999 | 0,999...
- ...001 | 0,100...
- ...002 | 0,200 ...
- ...
- ...010 | 0,010...


Indubbiamente è una corrispondenza biunivoca.

Ora, se applico ai reali la "diagonalizzazione", considerando
un reale che abbia all' i-esimo posto decimale la cifra, maggiorata di 1, che si trovi all'i-esimo posto decimale
dell'i-esimo reale dell'elenco (zero se questa cifra è 9) .

Cosa però mi impedisce di fare la stessa operazione "a sinistra", sui naturali-essendo una situazione completamente simmetrica?

Il mio "nuovo" reale, ottenuto con "la diagonale" è associato a quel "nuovo" naturale, ottenuto
con la diagonale "a sinistra".



$\NN$...001 $\RR$0,100...
-...909 | 0,909...
-...101 | 0,101 ...
- ...

A questo punto, sorpreso, non so che pensare.
Perchè -quella
sembra una corrispondenza biunivoca, e non inficiabile con l'argomentazione della diagonale.

[Studente Anonimo]

"orazioster":Considero i reali $\in[0,1]$, ed
associo loro i naturali al modo seguente (con un abuso di notazione per i naturali):

$\NN$ ..000 $\RR$0,000...
- ...999 | 0,999...
- ...001 | 0,100...
- ...002 | 0,200 ...
- ...
- ...010 | 0,010...

Indubbiamente è una corrispondenza biunivoca.

Eh, si'

Se lo fosse l'intervallo [0,1] sarebbe numerabile, no? (o forse ho capito male?)

Non e' biunivoca: le sequenze a destra hanno solo un numero finito di cifre non nulle. Per esempio il numero reale [tex]0.\bar{1}[/tex] (zero virgola uno periodico) non e' associato (tramite la tua corrispondenza) a nessun numero naturale.

[orazioster]

Ma infatti! non
mi sognavo certo che l'intervallo fosse numerabile. E' che non
capivo dove sbagliavo.

Ma, scusa, $0.bar1$ non
può venire associato
a $...111$ (sequenza infinita di "1")?

Uhf, sto pensando che non riesco a pensare, abbiate pazienza!

[Studente Anonimo]

"orazioster": Ma, scusa, $0.bar1$ non
può venire associato
a $...111$ (sequenza infinita di "1")?

Uhf, sto pensando che non riesco a pensare, abbiate pazienza!

Tranquillo

Il fatto e' che un numero naturale espresso in una data base e' una sequenza finita di cifre. Invece la sequenza 111111... e' infinita. Cioe' tu vuoi che la sequenza infinita di uni corrisponda a un numero naturale, ma a quale?

[orazioster]

ho capito!

e già! non esiste un naturale come sequenza infinita!

All Right!