Questione terminologica sulle azioni di gruppo

[Paolo902]

Siano $G$ un gruppo, $X$ un insieme qualunque. Supponiamo che $G$ agisca su $X$ e che valga la proprietà

$(P)$ Esiste un $x_0 \in X$ tale che per ogni altro $x \in X$ esiste un $g \in G$ per cui $g \cdot x = x_0$.

Insomma, esiste un punto che è "collegato" con tutti gli altri. E' chiaro che una siffatta azione è necessariamente transitiva: presi $x_1$, $x_2 in X$ e detti $g_1, g_2 in G$ tali che $g_1 \cdot x_1 = g_2 cdot x_2 = x_0$ allora $g_{2}^(-1)g_1 cdot x_1 = x_2$.

Mi chiedo: hanno un nome particolare le azioni con questa proprietà? Sono in un certo senso azioni "stellate" ma non ricordo di averle mai viste con un nome proprio in testi di Algebra. A me però pare che la proprietà (P) sia più forte della semplice transitivià, ma forse mi sbaglio (sto pensando al parallelo con la topologia "connesso per archi-stellato").

Che dite?

Vi ringrazio.

[j18eos]

A occhio mi sembrano niente più che proprietà equivalenti!

[Paolo902]

Ciao Armando,

grazie per la risposta. Ma tu quindi dici che vale anche l'implicazione "azione transitiva $=>$ proprietà (P)"?
Io non lo vedo...

E poi, sempre che il parallelo abbia senso, sarebbe come dire che ogni spazio connesso per archi è anche stellato, il che non mi sembra vero...

[maurer]

Sì, ha ragione Armando. E' una riformulazione equivalente della proprietà di transitività (hai già mostrato che la proprietà P implica la transitività, il viceversa è ovvio - basta prendere un punto qualsiasi).

[Paolo902]

Uh, è vero: che scemo, chissà perché ma mi ero convinto che fosse una proprietà più forte.

Grazie.

[j18eos]

Forse il vedere le orbite dell'azione di un gruppo \(G\) su un insieme \(\Omega\) come un grafo potrebbe aiutarti Paolo a capire perché l'analogia con la topologia pura fallisce!