Quesito sugli anelli

[Pigreco2016]

"In un anello $A$ privo di divisori dello zero se esiste $a \in A$ e due elementi non nulli $x,y$ tali che $ax=x$ e $ya=y$ allora $a$ è l'unità dell'anello." Ora per dimostrare questa frase io vorrei mostrare che preso un qualsiasi elemento $c \in A$ ho $ac=ca=c$.In particolare dovrei ottenere anche $xa=x$ e $ay=y$. L'unica cosa che ottengo è $a$ si comporta come l'unità solo per l'elemento $xy$

[bobus1]

Probabilmente intendevi \(\displaystyle ya=y \)?
Sia \(\displaystyle z \in A\), allora \(\displaystyle cay = cy \), quindi \(\displaystyle (ca -c) y =0 \). Siccome \(\displaystyle y \neq 0\) , allora \(\displaystyle ca=c \). In modo analogo dall'altra parte.
Da che libro hai preso la frase?