Quesito logica
Salve,
"Un negozio di giocattoli ordina al fornitore una partita di cubetti, chiedendo che tre facce siano colorate di nero e tre di bianco. Il padrone del negozio immaginava erroneamente che questa indicazione fosse sufficiente ad avere cubetti identici. il fornitore invece si presenta con tutti i diversi tipi di cubetti che soddisfano i requisiti del negoziante.Quanti tipi diversi di cubetti si possono ottenere?"
per logica direi due, ma il processo matematico per arrivare alla soluzione qual è?? grazie
"Un negozio di giocattoli ordina al fornitore una partita di cubetti, chiedendo che tre facce siano colorate di nero e tre di bianco. Il padrone del negozio immaginava erroneamente che questa indicazione fosse sufficiente ad avere cubetti identici. il fornitore invece si presenta con tutti i diversi tipi di cubetti che soddisfano i requisiti del negoziante.Quanti tipi diversi di cubetti si possono ottenere?"
per logica direi due, ma il processo matematico per arrivare alla soluzione qual è?? grazie
Risposte
Ciao lunghezza 
Allora, il processo logico che hai eseguito è corretto. Vediamo ora di spiegare più formalmente perché la risposta è proprio due. Poiché si tratta di contare degli elementi (i modi possibili di dipingere un cubo con i vincoli dati, appunto) ci serve il calcolo combinatorio.
Innanzitutto possiamo determinare i modi possibili in cui possiamo selezionare le tre facce del cubo da colorare di uno dei due colori, diciamo nero ad esempio (tenendo presente che gioco forza una volta scelte queste le altre tre verranno ovviamente colorate di bianco senza ulteriore possibilità di scelta). Se supponiamo di numerare le varie facce del cubo in maniera banale con gli interi da $1$ a $6$, possiamo selezionare un totale di $\frac{6!}{(6 - 3)! 3!} = ... = 20$ serie di tre facciate differenti tra loro (la formula non esprime nient'altro che le combinazioni semplici di sei elementi in classe tre, dove appunto l'ordine in cui si prendono gli elementi non conta). Per maggior comprensione, è bene specificare che il fatto di essere differenti si può esprimere dicendo che per noi le serie di facce (ad esempio) $1-2-3$, $2-3-1$ e $3-1-2$ sono da considerarsi come una sola.
Bene, ora fondamentalmente possiamo colorare il cubo con lo stesso colore nero con due tipologie di colorazioni differenti: o con tre facce in sequenza l'una dopo l'altra oppure con tre facce che condividono lo stesso vertice del cubo.
Se osserviamo un cubo in 3D, con la prima colorazione abbiamo $4 \times 3 = 12$ modi possibili di colorare le facce (ossia quattro per ciascuna rotazione del cubo rispettivamente lungo l'asse x, y e z). Essendo tutte queste colorazioni equivalenti ne possiamo scartare undici dal nostro conteggio originale di venti (tenendone di fatto soltano una).
Ora analizziamo la seconda colorazione del cubo. Intuitivamente in questo caso è più facile effettuare il conteggio di quante colorazioni equivalenti abbiamo poiché ve ne sarà una per ogni vertice del cubo, ossia otto. Anche qui ne teniamo soltanto una ergo ne scartiamo sette.
Risulta pertanto un totale di $20 - 11 - 7 = 2$ modi possibili di colorare in maniera diversa il cubo
.
Dimmi pure se non è chiaro, non è semplice spiegarlo a parole senza un supporto grafico (che peraltro si potrebbe inserire mediante delle immagini volendo).
Allora, il processo logico che hai eseguito è corretto. Vediamo ora di spiegare più formalmente perché la risposta è proprio due. Poiché si tratta di contare degli elementi (i modi possibili di dipingere un cubo con i vincoli dati, appunto) ci serve il calcolo combinatorio.
Innanzitutto possiamo determinare i modi possibili in cui possiamo selezionare le tre facce del cubo da colorare di uno dei due colori, diciamo nero ad esempio (tenendo presente che gioco forza una volta scelte queste le altre tre verranno ovviamente colorate di bianco senza ulteriore possibilità di scelta). Se supponiamo di numerare le varie facce del cubo in maniera banale con gli interi da $1$ a $6$, possiamo selezionare un totale di $\frac{6!}{(6 - 3)! 3!} = ... = 20$ serie di tre facciate differenti tra loro (la formula non esprime nient'altro che le combinazioni semplici di sei elementi in classe tre, dove appunto l'ordine in cui si prendono gli elementi non conta). Per maggior comprensione, è bene specificare che il fatto di essere differenti si può esprimere dicendo che per noi le serie di facce (ad esempio) $1-2-3$, $2-3-1$ e $3-1-2$ sono da considerarsi come una sola.
Bene, ora fondamentalmente possiamo colorare il cubo con lo stesso colore nero con due tipologie di colorazioni differenti: o con tre facce in sequenza l'una dopo l'altra oppure con tre facce che condividono lo stesso vertice del cubo.
Se osserviamo un cubo in 3D, con la prima colorazione abbiamo $4 \times 3 = 12$ modi possibili di colorare le facce (ossia quattro per ciascuna rotazione del cubo rispettivamente lungo l'asse x, y e z). Essendo tutte queste colorazioni equivalenti ne possiamo scartare undici dal nostro conteggio originale di venti (tenendone di fatto soltano una).
Ora analizziamo la seconda colorazione del cubo. Intuitivamente in questo caso è più facile effettuare il conteggio di quante colorazioni equivalenti abbiamo poiché ve ne sarà una per ogni vertice del cubo, ossia otto. Anche qui ne teniamo soltanto una ergo ne scartiamo sette.
Risulta pertanto un totale di $20 - 11 - 7 = 2$ modi possibili di colorare in maniera diversa il cubo
.Dimmi pure se non è chiaro, non è semplice spiegarlo a parole senza un supporto grafico (che peraltro si potrebbe inserire mediante delle immagini volendo).
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