Quanti sono i primi fino ad N?
Premetto che le mie
conoscenze nel campo di Teoria dei Numeri sono amatoriali.
-So che il numero dei primi fino ad N, detto $\pi(N)$, è asintotico
alla funzione $Li(N)-=\int_2^N1/lnx"d"x$ come congetturato
da Gauss e dimostrato poi; (non mi dilungo sulla storia).
Questo è il "Teorema dei Numeri Primi"
Ieri sera leggevo un libriccino divulgativo, un altro che "L'Enigma dei Numeri Primi", di duSatoy,
dove si diceva che Riemann ha trovato una funzione, là
chiamata $R(N)$ che fornisce una approssimazione migliore di $\pi(N)$ che $Li(N)$ -
e questo /a parte/ che sia vera o no l'ipotesi di Riemann; se
fosse vera avremmo una stima esatta di $\pi(N)$.
Poi ho cercato, stamane, sul web circa questa funzione $R(N)$, e
l'ho trovata facilmente (su wikipedia) -e mi è sembrato essa implichi la conoscenza degli zeri
della famosa funzione $\zeta$.
So che si è
dimostrato che la parte reale di questi zeri è compresa (sulla retta reale) in un intorno del
famoso punto $Re(z)=1/2$.
E' questo il risultato
utilizzato per avere stima approssimata di $\pi(N)$?
E comunque -quali
sono le migliori stime che abbiamo?
Mi sembra di aver letto, tanti anni fa, che
$\alphaLi(N)<=\pi(N)<=\betaLi(N)$, con $\alpha$ e $\beta$ dell'ordine di $1+-1/10$ -(sono
io che non ricordo più precisamente).
E che questo sia stato dimostrato.
e'vero? E, se sì, quali
sarebbero i valori di queste costanti?
conoscenze nel campo di Teoria dei Numeri sono amatoriali.
-So che il numero dei primi fino ad N, detto $\pi(N)$, è asintotico
alla funzione $Li(N)-=\int_2^N1/lnx"d"x$ come congetturato
da Gauss e dimostrato poi; (non mi dilungo sulla storia).
Questo è il "Teorema dei Numeri Primi"
Ieri sera leggevo un libriccino divulgativo, un altro che "L'Enigma dei Numeri Primi", di duSatoy,
dove si diceva che Riemann ha trovato una funzione, là
chiamata $R(N)$ che fornisce una approssimazione migliore di $\pi(N)$ che $Li(N)$ -
e questo /a parte/ che sia vera o no l'ipotesi di Riemann; se
fosse vera avremmo una stima esatta di $\pi(N)$.
Poi ho cercato, stamane, sul web circa questa funzione $R(N)$, e
l'ho trovata facilmente (su wikipedia) -e mi è sembrato essa implichi la conoscenza degli zeri
della famosa funzione $\zeta$.
So che si è
dimostrato che la parte reale di questi zeri è compresa (sulla retta reale) in un intorno del
famoso punto $Re(z)=1/2$.
E' questo il risultato
utilizzato per avere stima approssimata di $\pi(N)$?
E comunque -quali
sono le migliori stime che abbiamo?
Mi sembra di aver letto, tanti anni fa, che
$\alphaLi(N)<=\pi(N)<=\betaLi(N)$, con $\alpha$ e $\beta$ dell'ordine di $1+-1/10$ -(sono
io che non ricordo più precisamente).
E che questo sia stato dimostrato.
e'vero? E, se sì, quali
sarebbero i valori di queste costanti?
Risposte
Allora, non so rispondere alle tue domande, mi limito a rispondere semplicemente alla domanda del tuo post, dicendoti un pò di metodi per trovare tutti i numeri primi fino a N:
-il metodo noto come "Crivello di erastone" (esaustivo) ( li trovi e li conti...)
- dato che se n è primo, è divisibile per $ sqrt(n) $ , per trovare tutti i numeri primi p con $ p leq n $ , è sufficiente vedere quali numeri $ leq n $ sono divisibili per i numeri primi $ leq sqrt(n) $ ( li trovi e li conti...)
- il numero dei numeri primi contenuti in un intervallo decresce al crescere degli estremi. La domanda "se n è un naturale, e se $ pi(n) $ è il numero dei numeri primi minori di n, qual è il valore di $ pi(n) $ ? Il teo fondamentale dei numeri primi dice che $ lim_(n -> oo ) pi(n)//{n//log (n)} = 1 $ .
In altre parole, $ pi(n) $ w $ n//log (n) $ hanno lo stesso ordine di grandezza, ciò significa che la probabilità che un numero naturale n sia primo è $ 1//log (n) $ .
-il metodo noto come "Crivello di erastone" (esaustivo) ( li trovi e li conti...)
- dato che se n è primo, è divisibile per $ sqrt(n) $ , per trovare tutti i numeri primi p con $ p leq n $ , è sufficiente vedere quali numeri $ leq n $ sono divisibili per i numeri primi $ leq sqrt(n) $ ( li trovi e li conti...)
- il numero dei numeri primi contenuti in un intervallo decresce al crescere degli estremi. La domanda "se n è un naturale, e se $ pi(n) $ è il numero dei numeri primi minori di n, qual è il valore di $ pi(n) $ ? Il teo fondamentale dei numeri primi dice che $ lim_(n -> oo ) pi(n)//{n//log (n)} = 1 $ .
In altre parole, $ pi(n) $ w $ n//log (n) $ hanno lo stesso ordine di grandezza, ciò significa che la probabilità che un numero naturale n sia primo è $ 1//log (n) $ .
Grazie.
Sì, sapevo che $N/logN$ approssima $\pi(N)$; e sono
asintotici
-anche se $Li(N)$ dà approssimazione migliore.
Sì, sapevo che $N/logN$ approssima $\pi(N)$; e sono
asintotici
-anche se $Li(N)$ dà approssimazione migliore.
Per la questione, parti sempre dalla "casa" dei numeri primi: http://primes.utm.edu/howmany.shtml
Finally, in 1896 Hadamard and independently de la Vallée Poussin completely proved the prime number theorem using Riemann's work relating pi(x) to the complex zeta function. de la Vallée Poussin also proved that Gauss' Li(x) is a better approximation to pi(x) than x/(log x -a) no matter what value is assigned to the constant a (and also that the best value for a is 1). A much better approximation than any of these is the Riemann function [Ribenboim91, Riesel94].
Yes... 
questa era la formula di cui parlavo -tra l'altro avevo letto (non approfonditamente) propriol'articolo di Dusart:
Note that Pierre Dusart [Dusart99] showed that if x>598 then
(x/log x)(1 + 0.992/log x) < pi(x) <(x/log x)(1 + 1.2762/log x)
non ricordavo bene le maggiorazioni, in effetti.
Dankeshön Herr Doktor... Rggb
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