Quanti sono i numeri primi?

[Chevtchenko]

La risposta la sappiamo tutti... Ma guardate un po' quant'e' bellina questa dim: sia $\Gamma$ un gruppo qualsiasi, e definiamo una topologia su $\Gamma$ (la topologia profinita) prendendo come base locale di intorni dell'unita' la famiglia dei sottogruppi normali aventi indice finito. Sia ora $\Gamma = ZZ$: e' facile vedere che un sottoinsieme $A$ di $ZZ$ e' aperto se e solo se per ogni $a \in A$ esiste $0 \ne t \in ZZ$ tale che $a + tZZ \subseteq A$; in altre parole, le progressioni aritmetiche formano una base per gli aperti di $ZZ$.

Ora, una progressione aritmetica e' aperta in $ZZ$ ma anche chiusa, in quanto il suo complemento e' unione di progressioni aritmetiche. Se per assurdo esistessero solo un numero finito di primi $p$, l'insieme $\cup pZZ$ sarebbe chiuso e quindi il suo complemento $ZZ \\ \cup pZZ = { +1, - 1 }$ sarebbe aperto. Assurdo!

[zorn1]

Certo, usa un cannone per sparare a una mosca, ma comunque molto bella!