Quanti polinomi irriducibili

[Galager]

Ciao a tutti, devo determinare il numero di polinomi irriducibili di grado 6 su F2.
Avevo pensato di procedere così: contare tutti gli elementi di F64 non contenuti in F8 F4 o F3 ovvero 64-8=56;
questi saranno le radici dei vari polinomi minimi di grado 6, che perciò saranno 56/6=..

La soluzione procede in maniera simile ma gli elementi contenuti in F64 e non nei sottocampi li conta cosi 64-8-4+2=54

Grazie!!

[hydro1]

E' giusto ma oltre agli 8 elementi di $\mathbb F_8$ devi togliere anche i 2 di $\mathbb F_4$ che non vivono già in $\mathbb F_8$.

[Galager]

non mi è ben chiaro cosa c'entra F3. Forse non la vedo nel modo giusto: per me F8 contiene già F4 e F2 quindi per la mia idea bastava toglierne 8

[hydro1]

Pardon, intendevo $\mathbb F_4$. No, $\mathbb F_8$ non contiene $\mathbb F_4$.

[Galager]

e come capisco se un campo finito contiene o meno i suoi sottocampi?

[Galager]

forse tolgo F8 che contiene F2, tolgo F4 che contiene F2 e poi riaggungo F2?

[Galager]

ma allora quando mi viene chiesto di trovare gli $\alpha$ tali er cui il loro campo di spezzamento sia tutto F64 perchè è sufficiente fare 64-8 e non vale lo stesso discorso?

[hydro1]

"Galager":e come capisco se un campo finito contiene o meno i suoi sottocampi?

\(\mathbb F_{p^n}\subseteq \mathbb F_{p^m}\Longleftrightarrow n\mid m\)