Quanti omomorfismi ci sono da Z3 X Z3 a S7
Ciao ragazzi!
L'ultimo dubbio che vi rivelo è questo:
allora devo contare gli omomorfismi da Z3xZ3 a S7.
Z3XZ3 non è ciclico, S7 sì.
il primo non essendo ciclico non è isomorfo a Z9. e fin qui.
So già per via degli ordini che non troverò omomorfismi suriettivi. giusto?
quindi io dovrei trovare due generatori di Z3xZ3 e considerare in S7 le strutture cicliche con periodo 3.
I due generatori di Z3xZ3 sono (1,0) e (0,1). mentre le strutture cicliche con periodo 3 sono: 3 e 3+3.
Ora contiamo gli elementi.. nella struttura ciclica "3" ho 7!\ 3! x 4!.
in "3+3" ho (7! \ 3!4!)x(4!\3!)x(1\2)
quindi in teoria ora devo fare la somma dei due risultati e ottengo il numero totale degli omomorfismi iniettivi.. giusto?
ma manca qualcosa!! cioè..non mi è chiaro il procedimento per capire quanti sono tutti gli omomorfismi!
non so se riesco a farmi capire.. grazie a chi m aiuterà!
L'ultimo dubbio che vi rivelo è questo:
allora devo contare gli omomorfismi da Z3xZ3 a S7.
Z3XZ3 non è ciclico, S7 sì.
il primo non essendo ciclico non è isomorfo a Z9. e fin qui.
So già per via degli ordini che non troverò omomorfismi suriettivi. giusto?
quindi io dovrei trovare due generatori di Z3xZ3 e considerare in S7 le strutture cicliche con periodo 3.
I due generatori di Z3xZ3 sono (1,0) e (0,1). mentre le strutture cicliche con periodo 3 sono: 3 e 3+3.
Ora contiamo gli elementi.. nella struttura ciclica "3" ho 7!\ 3! x 4!.
in "3+3" ho (7! \ 3!4!)x(4!\3!)x(1\2)
quindi in teoria ora devo fare la somma dei due risultati e ottengo il numero totale degli omomorfismi iniettivi.. giusto?
ma manca qualcosa!! cioè..non mi è chiaro il procedimento per capire quanti sono tutti gli omomorfismi!
non so se riesco a farmi capire.. grazie a chi m aiuterà!
Risposte
Calma.
Prendi un omomorfismo [tex]f:\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \to S_7[/tex]. Ci sono tre possibilità per il suo nucleo.
1) [tex]\ker(f) = \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex]. In questo caso hai un solo omomorfismo, quello che manda tutto in 1.
2) [tex]\ker(f)[/tex] ha ordine 3. In questo caso i possibili nuclei sono 4. L'immagine è un sottogruppo di $S_7$ di ordine $3$. Chiamando $k$ il numero dei sottogruppi di $S_7$ di ordine 3 (non è difficile calcolare k: è la metà del numero degli elementi di ordine 3) e h il numero di omomorfismi suriettivi $ZZ_3 xx ZZ_3 to ZZ_3$ in questo caso trovi 4kh omomorfismi.
3) [tex]\ker(f)=\{1\}[/tex], in altre parole $f$ è iniettiva. In questo caso il numero degli omomorfismi coincide col numero di sottogruppi di $S_7$ isomorfi a [tex]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex] moltiplicato per il numero di automorfismi di [tex]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex]. Sei capace di calcolare questo numero?
PS: per favore impara a scrivere le formule. Grazie.
"simonina_2":Innanzitutto $S_7$ non è ciclico.
Z3XZ3 non è ciclico, S7 sì.
Prendi un omomorfismo [tex]f:\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \to S_7[/tex]. Ci sono tre possibilità per il suo nucleo.
1) [tex]\ker(f) = \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex]. In questo caso hai un solo omomorfismo, quello che manda tutto in 1.
2) [tex]\ker(f)[/tex] ha ordine 3. In questo caso i possibili nuclei sono 4. L'immagine è un sottogruppo di $S_7$ di ordine $3$. Chiamando $k$ il numero dei sottogruppi di $S_7$ di ordine 3 (non è difficile calcolare k: è la metà del numero degli elementi di ordine 3) e h il numero di omomorfismi suriettivi $ZZ_3 xx ZZ_3 to ZZ_3$ in questo caso trovi 4kh omomorfismi.
3) [tex]\ker(f)=\{1\}[/tex], in altre parole $f$ è iniettiva. In questo caso il numero degli omomorfismi coincide col numero di sottogruppi di $S_7$ isomorfi a [tex]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex] moltiplicato per il numero di automorfismi di [tex]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/tex]. Sei capace di calcolare questo numero?
PS: per favore impara a scrivere le formule. Grazie.
si chiedo scusa per le formule me ho una tasiera assurda e non riesco bene a usarla..pardon!
chiedo anche scusa perchè S7 so che non è ciclico..=) distrazione!
Non ho mai esaguito questo esercizio con questo metodo, ma è molto piu chiaro effettivamente (abbiamo un professore che è veramente incredibile..è un confusionario! quindi dobbiamo sempre fare tutto con le nostra forza insomma).
Beh in questo modo ho capito i primi due punti però non so calcolare il terzo.. mi spieghi perchè moltiplicato per il numero di automorfismi?
chiedo anche scusa perchè S7 so che non è ciclico..=) distrazione!
Non ho mai esaguito questo esercizio con questo metodo, ma è molto piu chiaro effettivamente (abbiamo un professore che è veramente incredibile..è un confusionario! quindi dobbiamo sempre fare tutto con le nostra forza insomma).
Beh in questo modo ho capito i primi due punti però non so calcolare il terzo.. mi spieghi perchè moltiplicato per il numero di automorfismi?
Un omomorfismo iniettivo $ZZ_3 xx ZZ_3 to S_7$ è determinato da due cose:
1) La sua immagine, che sarà isomorfa a $ZZ_3 xx ZZ_3$.
2) L'omomorfismo ottenuto restringendo il codominio, $ZZ_3 xx ZZ_3 to ZZ_3 xx ZZ_3$, che in quanto iniettivo è un automorfismo di $ZZ_3 xx ZZ_3$.
1) La sua immagine, che sarà isomorfa a $ZZ_3 xx ZZ_3$.
2) L'omomorfismo ottenuto restringendo il codominio, $ZZ_3 xx ZZ_3 to ZZ_3 xx ZZ_3$, che in quanto iniettivo è un automorfismo di $ZZ_3 xx ZZ_3$.
ho capito, grazie davvero sei gentilissimo! comunque si, il mio prof è una mina vagante.. guarda, lascia perdere.. ieri ho fatto l'esame e dopo l'esame gli ho anche detto che molte cose erano sbagliate, e gli ho chiesto se poteva correggerle, almeno se mai dovessi ridarlo insomma non perdo tempo a fare esercizi sbagliati!!!!!
speriamo bene, va! grazie sei davvero gentile!
speriamo bene, va! grazie sei davvero gentile!
Prego di niente. Alla prossima!
"simonina_2":
ho capito, grazie davvero sei gentilissimo! comunque si, il mio prof è una mina vagante.. guarda, lascia perdere.. ieri ho fatto l'esame e dopo l'esame gli ho anche detto che molte cose erano sbagliate, e gli ho chiesto se poteva correggerle, almeno se mai dovessi ridarlo insomma non perdo tempo a fare esercizi sbagliati!!!!!
speriamo bene, va! grazie sei davvero gentile!
Manaresi? Anch'io
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