Quante sono le soluzioni sistema lineare in $ZZ_7$.

[lapoalberto77]

Salve,

ho il seguente sistema lineare a coefficienti in $ZZ_7$ tutto ben risolto.
Cortesemente potreste dirmi come faccio a dire quante sono in tutto le soluzioni? (le lettere implicate sono $x,y,u,v,z$).

${(x = 1+5v+y),(z=1+5u):}$

l'insieme rapprensentante quali sono le soluzioni dovrebbe essere il seguente se non sbaglio:
$S={(1+5v+y; 1+5u; v; y; u)| u,v,y \in ZZ_7}$

mille grazie.

[Riuzaki]

le sol dovrebbero essere:

v $( ( 5 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$ + y $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$ + u $( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 5 ),( 1 ) )$ + $( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$

spero di esserti stato di aiuto.....

[lapoalberto77]

non mi è molto chiara la risposta Riuzaki.
E comunque quante sono le soluzioni?
il procedimento precedente non l'ho mai applicato, da esso riesco a ricavare quante sono le soluzioni in tutto?

[Riuzaki]

è evidente che le soluzioni sono infinite......

[lapoalberto77]

come infinite? è in $ZZ_7$ non in $ZZ$!
per esempio in $x = 1+5v+y$ la $v$ non dovrebbe assumere valori da 0 a 6 e lo stesso dicasi per $y$?

[Studente Anonimo]

Ciao!

Ti dovrebbe essere noto che uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $ZZ_p$ ha $p^n$ elementi. Infatti scelta una base hai $p$ scelte per ogni coefficiente.

[lapoalberto77]

grazie. non mi è noto purtroppo ed è comunque un argomento che non affronterò almeno per ora.
quindi per ogni coefficiente ho 7 scelte da 0 a 6.
perciò si applicheranno concetti di combinatoria?
quindi solo in x ci saranno $7*7=49$ combinazioni vero?

[Studente Anonimo]

"lapoalberto77":l'insieme rapprensentante quali sono le soluzioni dovrebbe essere il seguente se non sbaglio:
$S={(1+5v+y; 1+5u; v; y; u)| u,v,y \in ZZ_7}$

Questo è un sottospazio affine di dimensione 3, quindi contiene $7^3$ elementi.