Quante sono le matrici di $M_8$ ($Z_13$)...Combinatoria
Quante sono le matrici di $M_8$ ($Z_13$) aventi solo quattro entrate non nulle, disposte in modo che non ci siano due di esse sulla stessa riga o sulla stessa colonna?
Io avevo pensato che che siccome è una matrice quadratica ho binomiale $((8),(4))$ possibilità di avere una matrice con le entrate richieste... giusto?
Io avevo pensato che che siccome è una matrice quadratica ho binomiale $((8),(4))$ possibilità di avere una matrice con le entrate richieste... giusto?
Risposte
Pensandoci ancora bene manca forse qualcose... siccome sono in $Z_13$ ho 11 valori non nulli , quindi
binomiale $((8),(4)) * ((11),(4))$
binomiale $((8),(4)) * ((11),(4))$
Prima di tutto io ho inteso: "non ci siano due di esse sulla stessa riga o sulla stessa colonna" come: ogni elemento non nullo deve stare su una riga e su una colonna diversa da quelle occupate dagli altri 3.
Se si intende così la traccia propongo questa soluzione:
prima di tutto devo vedere quanti schieramenti validi ci sono.
Gli schieramenti sono validi se ogni elemento è posizionato su una riga e una colonna in cui non ce n'è nessun altro:
vedo in quante maniere posso scegliere tra 8 righe 4 righe distinte \(\displaystyle \binom {8}{4}\)
vedo in quante maniere posso scegliere tra 8 colonne 4 colonne distinte (come sopra) \(\displaystyle \binom {8}{4}\)
Queste sono tutti gli schieramenti validi ovvero quelli in cui ogni riga e ogni colonna non contiene più di un elemento.
Adesso per ognuno degli \(\displaystyle \binom {8}{4}*\binom {8}{4}\) schieramenti possibili ho (\displaystyle 12^4\) possibili matrici, poichè ognuna delle 4 posizioni può assumere uno dei 12 valori non nulli di \(\displaystyle Z_13\).
Il risultato pertanto dovrebbe essere \(\displaystyle \binom {8}{4}*\binom {8}{4}*12^4\), correggetemi se ho sbagliato.
Se si intende così la traccia propongo questa soluzione:
prima di tutto devo vedere quanti schieramenti validi ci sono.
Gli schieramenti sono validi se ogni elemento è posizionato su una riga e una colonna in cui non ce n'è nessun altro:
vedo in quante maniere posso scegliere tra 8 righe 4 righe distinte \(\displaystyle \binom {8}{4}\)
vedo in quante maniere posso scegliere tra 8 colonne 4 colonne distinte (come sopra) \(\displaystyle \binom {8}{4}\)
Queste sono tutti gli schieramenti validi ovvero quelli in cui ogni riga e ogni colonna non contiene più di un elemento.
Adesso per ognuno degli \(\displaystyle \binom {8}{4}*\binom {8}{4}\) schieramenti possibili ho (\displaystyle 12^4\) possibili matrici, poichè ognuna delle 4 posizioni può assumere uno dei 12 valori non nulli di \(\displaystyle Z_13\).
Il risultato pertanto dovrebbe essere \(\displaystyle \binom {8}{4}*\binom {8}{4}*12^4\), correggetemi se ho sbagliato.
Siccome le entrate sono 64 , visto che è una matrice quadratica. Non ci possono essere ripetizioni sulla stessa riga e colonna. I numeri che non sono nulli sono 12, quindi :
$ ((64),(4)) * 12 $
Cosa ne pensate?
$ ((64),(4)) * 12 $
Cosa ne pensate?
io ho ragionato così:
una matrice 8x8 di esempio che possiamo avere è del tipo
$ ( ( 1 , 0 ,1 ,1 , 1 ,1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1, 1 ,1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 1 ,1 ),( 1 , 1 ,1 , 1 , 0 , 1 ,1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 0 ,1 ),( 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 1,1 , 1 ),( 1 , 1, 1 , 1 , 1 ,1 ,1 , 1), ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,1 , 1 , 1 )) $
(ho messo tutti 1 per semplicità)
questo mi dice che devo capire come disporre 12 oggetti in classe 4 quindi $D(12,4)=(12!)/((12-4)!)$ in più il primo elemento non nullo, cioè il primo 0 avrà 64 posti in cui poter essere, piazzato il primo ci saranno 49 posti, poi 36 poi 25 quindi il numero totale delle possibili matrici è $D(12,4)=(12!)/((12-4)!) * 64*49*36*25$
che ne dite? vi ho convinto?
una matrice 8x8 di esempio che possiamo avere è del tipo
$ ( ( 1 , 0 ,1 ,1 , 1 ,1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1, 1 ,1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 1 ,1 ),( 1 , 1 ,1 , 1 , 0 , 1 ,1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 0 ,1 ),( 1 , 1 ,1 , 1 ,1 , 1,1 , 1 ),( 1 , 1, 1 , 1 , 1 ,1 ,1 , 1), ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,1 , 1 , 1 )) $
(ho messo tutti 1 per semplicità)
questo mi dice che devo capire come disporre 12 oggetti in classe 4 quindi $D(12,4)=(12!)/((12-4)!)$ in più il primo elemento non nullo, cioè il primo 0 avrà 64 posti in cui poter essere, piazzato il primo ci saranno 49 posti, poi 36 poi 25 quindi il numero totale delle possibili matrici è $D(12,4)=(12!)/((12-4)!) * 64*49*36*25$
che ne dite? vi ho convinto?
"duombo":Questo è corretto; ma le disposizioni semplici no!
io ho ragionato così:
...in più il primo elemento non nullo, cioè il primo 0 avrà 64 posti in cui poter essere, piazzato il primo ci saranno 49 posti, poi 36 poi 25...
Pensaci ancora un pò!
mmm... penso di aver capito l'errore, sono Combinazioni perchè non devo tenere conto dell'ordine, giusto?
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