Quante radici ha $2x^5 -10x +5$ ?
TRACCIA: stabilire quante radici ha il polinomio $2x^5 -10x +5$ .
Non riesco a svolgere questo esercizio... non riesco a ridurre il polinomio...
in più mi hanno detto che tutti i polinomi con grado maggiore di 3 sono riducibili, ma mi sembra strano...
mi aiutate? martedì ho una prova e non vorrei avere di questi dubbi... grazie mille!
Non riesco a svolgere questo esercizio... non riesco a ridurre il polinomio...
in più mi hanno detto che tutti i polinomi con grado maggiore di 3 sono riducibili, ma mi sembra strano...
mi aiutate? martedì ho una prova e non vorrei avere di questi dubbi... grazie mille!
Risposte
"Ninphyl":
TRACCIA: stabilire quante radici ha il polinomio $2^5 -10x +5$ .
Non riesco a svolgere questo esercizio... non riesco a ridurre il polinomio...
in più mi hanno detto che tutti i polinomi con grado maggiore di 3 sono riducibili, ma mi sembra strano...
mi aiutate? martedì ho una prova e non vorrei avere di questi dubbi... grazie mille!
Ma $-10x +5+2^5$ non è un polinomio di primo grado?
ops ho sbagliato a scrivere...il polinomio è $2x^5 -10x +5$
specifica dove vuoi trovare le radici...
devi fare lo studio di funzione e vedere quante volte interseca l'asse $x$
in $ R[x] $
Il criterio di Eisenstein t'assicura che tale polinomio non ha radici razionali.
Il suo polinomio derivato è [tex]10x^4-10=10(x^4-1)[/tex], ha 4 radici distinte [tex]1;-1;i;-i[/tex] e nessuna delle quali è radice del polinomio dato quindi tutte le radici di [tex]2x^5+10x-5[/tex] sono semplici; esse determinano nel piano di Gauss un pentagono regolare di centro [tex](0;0)[/tex] quindi tale polinomio ha un'unica radice reale irrazionale in [tex][0;1][/tex] in quanto:
[tex]2\cdot0^5+10\cdot0-5=-5<7=2\cdot1^5+10\cdot1-5[/tex]
Dovendo capire quante radici reali abbia [tex]2x^5+10x-5[/tex] la risposta esatta è una.
Inoltre, un polinomio a coefficienti reali è il prodotto di polinomi di I&II grado a coefficineti reali.
EDIT: le radici primitive quinte dell'unità determinano i vertici di un pentagono regolare per cui è solo corretto dire che tale polinomio non ha radici multiple ed è una reale almeno in [tex][0;1][/tex]
Il suo polinomio derivato è [tex]10x^4-10=10(x^4-1)[/tex], ha 4 radici distinte [tex]1;-1;i;-i[/tex] e nessuna delle quali è radice del polinomio dato quindi tutte le radici di [tex]2x^5+10x-5[/tex] sono semplici; esse determinano nel piano di Gauss un pentagono regolare di centro [tex](0;0)[/tex] quindi tale polinomio ha un'unica radice reale irrazionale in [tex][0;1][/tex] in quanto:
[tex]2\cdot0^5+10\cdot0-5=-5<7=2\cdot1^5+10\cdot1-5[/tex]
Dovendo capire quante radici reali abbia [tex]2x^5+10x-5[/tex] la risposta esatta è una.
Inoltre, un polinomio a coefficienti reali è il prodotto di polinomi di I&II grado a coefficineti reali.
EDIT: le radici primitive quinte dell'unità determinano i vertici di un pentagono regolare per cui è solo corretto dire che tale polinomio non ha radici multiple ed è una reale almeno in [tex][0;1][/tex]
Il polinomio $P(x)=2x^5-10x+5$ ha tre radici reali $x_1$, $x_2$, $x_3$.
E' sufficiente studiare il segno del polinomio derivato $P'(x)=10(x^4-1)$.
$ x_1 in (-2,-1)$,
$ x_2 in (0,1)$,
$ x_3 in (1,2)$.
E' sufficiente studiare il segno del polinomio derivato $P'(x)=10(x^4-1)$.
$ x_1 in (-2,-1)$,
$ x_2 in (0,1)$,
$ x_3 in (1,2)$.
beh non è che sia proprio sufficiente studiare il segno della derivata, bisogna anche valutare il polinomio di partenza negli zeri del polinomio derivato, e poi trarre le conclusioni opportune. comunque in questo caso è vero, ci sono tre zeri.
ma non devono esserci 5 soluzioni?
in $CC$ ci sono 5 soluzioni, in $RR$ no..
Io ho fatto il seguente ragionamento: tale polinomio non ha radici multiple, ho immaginato tutte e 5 le radici nel piano complesso (piano di gauss) e mi danno i vertici di un pentagono regolare quindi né ho dedotto che al più una radice è reale ma si vede che "la geometria è lo studio delle figure mal fatte" e quindi mi ha ingannato.
Chi ti ha detto che le 5 radici nel piano di Gauss sono i vertici di un pentagono REGOLARE, quasi mai è così.
Quello che dici vale certamente per le equazioni binomie, ma in generale è falso.
Quello che dici vale certamente per le equazioni binomie, ma in generale è falso.
"blackbishop13":
beh non è che sia proprio sufficiente studiare il segno della derivata, bisogna anche valutare il polinomio di partenza negli zeri del polinomio derivato, e poi trarre le conclusioni opportune. comunque in questo caso è vero, ci sono tre zeri.
Io ho letto il regolamento di questo forum e so che viene consigliato, a chi desidera aiutare, di dare solo dei suggerimenti piuttosto che risolvere tutto nei dettagli spiegando ogni passaggio.
Per questo motivo, non sono sceso nei particolari, altrimenti avrei dovuto pure dire che, oltre a valutare il polinomio di partenza negli zeri del polinomio derivato, occorre anche valutare il polinomio di partenza in altri punti (nel caso dell'esercizio proposto sono: -2, 0, 2) e quindi applicare il teorema di esistenza degli zeri.
Non mi pare che nel testo sia specificato che ci troviamo in $RR$
"Andre@":
Non mi pare che nel testo sia specificato che ci troviamo in $RR$
Si Siamo in $R$ l'ho specificato lungo la discussione..
In ogni caso...
Nel campo reale mi trovo con l'esistenza di solo 2 radici... ovvero 1 e -1... è corretto?
"Ninphyl":
Nel campo reale mi trovo con l'esistenza di solo 2 radici... ovvero 1 e -1... è corretto?
ma invece di scrivere queste sciocchezze non puoi prenderti la briga di leggere la discussione?
si è detto che il polinomio $sx^5 -10x+5$ ha tre radici, si sono detti gli intervalli di appartenenza, e adesso salti fuori che un polinomio di 5 grado ha due radici, che è impossibile, e inoltre spari due numeri che evidentemente non sono radici, basta saper fare $2-10+5 != 0$ e $-2+10+5 != 0$ !!!
"blackbishop13":
[quote="Ninphyl"]
Nel campo reale mi trovo con l'esistenza di solo 2 radici... ovvero 1 e -1... è corretto?
ma invece di scrivere queste sciocchezze non puoi prenderti la briga di leggere la discussione?
si è detto che il polinomio $sx^5 -10x+5$ ha tre radici, si sono detti gli intervalli di appartenenza, e adesso salti fuori che un polinomio di 5 grado ha due radici, che è impossibile, e inoltre spari due numeri che evidentemente non sono radici, basta saper fare $2-10+5 != 0$ e $-2+10+5 != 0$ !!![/quote]
La discussione l'ho letta e non ci ho capito molto.. Ho appena provato e mi sono accorta della burla che ho scritto...
Inoltre credo che il tuo modo di parlare non sia consono a questo forum, e anche offensivo...
Nessuno ti ha obbligato a rispondere a questa discussione e nessuno ti da il permesso di trattare una persona come fosse deficiente solo perchè tu riesci a comprendere delle cose in modo più rapido, e soprattutto nessuno ti autorizza a dare della "stupida" implicitamente ad una persona perchè ha dimenticato di fare dei conti... Mi offende il tuo modo di esprimerti!
"Angelo":
Il polinomio $P(x)=2x^5-10x+5$ ha tre radici reali $x_1$, $x_2$, $x_3$.
E' sufficiente studiare il segno del polinomio derivato $P'(x)=10(x^4-1)$.
$ x_1 in (-2,-1)$,
$ x_2 in (0,1)$,
$ x_3 in (1,2)$.
Come arrivi a dire che ci sono 3 soluzioni... A me questo serve di capire, ma non riesco
Come diceva giustamente Angelo, tutto sta nello studio del polinomio derivato.
$P'(x)=10(x^4-1)$
Tu sai che
$P'(x)>0 rArr P(x)$ crescente,
$P'(x)<0 rArr P(x)$ decrescente
Se fai lo studio dei segni, noterai che $P'(x)>0$ quando $x<-1 vv x>1$ e che $P'(x)<0$ quando $-1
Questo vuol dire che il nostro polinomio $P(x)=2x^5-10x+5$
parte da $-oo$, poi, fino a $-1$ cresce,
poi, tra $-1$ e $1$ decresce, quindi in $x_1=-1$ c'è un punto di massimo relativo: $P(-1)=13>0$
poi, tra $1$ e $+oo$ cresce nuovamente, quindi in $x_2=1$ c'è un punto di minimo relativo: $P(1)=-3<0$
Infine, la funzione a $+oo$ tende a $+oo$
Questo vuol dire che ci sono tre radici:
La prima è tra $-oo$ e $-1$
La seconda è tra $-1$ e $1$
La terza è tra $1$ e $+oo$
qui c'è il grafico del polinomio in questione
$P'(x)=10(x^4-1)$
Tu sai che
$P'(x)>0 rArr P(x)$ crescente,
$P'(x)<0 rArr P(x)$ decrescente
Se fai lo studio dei segni, noterai che $P'(x)>0$ quando $x<-1 vv x>1$ e che $P'(x)<0$ quando $-1
Questo vuol dire che il nostro polinomio $P(x)=2x^5-10x+5$
parte da $-oo$, poi, fino a $-1$ cresce,
poi, tra $-1$ e $1$ decresce, quindi in $x_1=-1$ c'è un punto di massimo relativo: $P(-1)=13>0$
poi, tra $1$ e $+oo$ cresce nuovamente, quindi in $x_2=1$ c'è un punto di minimo relativo: $P(1)=-3<0$
Infine, la funzione a $+oo$ tende a $+oo$
Questo vuol dire che ci sono tre radici:
La prima è tra $-oo$ e $-1$
La seconda è tra $-1$ e $1$
La terza è tra $1$ e $+oo$
qui c'è il grafico del polinomio in questione
Questo vuol dire che devo studiare il polinomio come se facessi uno studio di funzione... Insomma tutto sembra tranne che algebra ^^ mi sa più di analisi eheheh... Ti ringrazio tanto!!! Mi sei stato di enorme aiuto!!!!!!!!! GRAZIEEEEEEEEEEEEEEEEE!!!!!!!!!!!!
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