Quando un dominio locale è libero.

[UmbertoM1]

Sia $A$ un dominio locale $\mathcal{M}$ il suo ideale massimale.
$M$ un $A$-modulo finitamente generato.
Supponiamo $dim_{Q(A)}Q(A)\otimes_A M=dim_{A//\mathcal{M}}A//\mathcal{M}\otimes_A M$
La struttura di spazio vettoriale dei due insiemi è quella naturale.
Bisogna provare che in realtà $M$ è libero (vale anche il viceversa, se $M$ è libero le due dimensioni sono uguali, ma questo è facile da provare).
L'idea è quella di usare in qualche modo il lemma di Nakayama, visto che si parla di anelli locali finitamente generati

[Stickelberger]

Siano $m_1,\ldots, m_d$ elementi di $M$ che formano una base dello $A//\mathcal{M}$-spazio
vettoriale $A//\mathcal{M}\otimes_A M $. Allora, il lemma di Nakayama implica che il morfismo
$f:A^d\rightarrow M$ che manda i vettori $e_k$ della base canonica di $A^d$ negli elementi $m_k$,
e' suriettivo. Sia $K$ il nucleo di $f$.

La successione esatta $0\rightarrow K\rightarrow A^d\rightarrow M\rightarrow 0$, rimane esatta se
tensorizziamo con $Q(A)$. Perche' si tratta di una localizzazione.

Dal fatto che $ dim_{Q(A)}Q(A)\otimes_A M=d=dim_{Q(A)}Q(A)^d$ segue che $Q(A)\otimes K$ e' zero.
Questo vuol dire che $K$ e' di torsione. Poiche' $A$ e' un dominio, il modulo $A^d$ e quindi anche
il suo sottomodulo $K$ e' senza torsione. Conclusione: $K=0$ e $M\cong A^d$ e' libero.