Quando gli endomorfismi additivi coincidono con l'anello
"Endomorfismi additivi", naturalmente, sta per "endomorfismi del gruppo additivo", ma il titolo era troppo lungo. 
Vorrei proporre un simpatico problemino pescato sul primo volume di Jacobson, terzo capitolo. Si parla di endomorfismi di gruppi abeliani: precisamente, dato un gruppo abeliano \((M, +)\), chiamiamo \(\text{End}(M)\) l'insieme delle mappe additive di \(M\) in sé dotato di struttura di anello[size=80](*)[/size] con \((\xi+\eta)(x)=\xi(x)+\eta(x), (\xi \eta)(x)=(\xi\circ \eta)(x)\).
In certi casi \(M\) è dotato di struttura di anello esso stesso, nel qual caso può capitare che \(\text{End}(M)\) e \(M\) siano anelli isomorfi: ad esempio ciò capita con \(M=\mathbb{Z}\) identificando una mappa additiva \(\eta\) con \(\eta(1)\). Jacobson pone la domanda: è sempre questo il caso? Cosa si può dire se \(M\) è un campo?
Io credo che entrambe le risposte siano negative. Un controesempio alla prima domanda mi pare possa essere \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) (somma e prodotto componente per componente): \(\text{End}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +)\) è (isomorfo a) l'anello delle matrici di interi 2x2, il cui gruppo additivo ha rango 4 (=numero minimo di generatori), mentre il gruppo additivo di \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) ha rango 2. Ma è la seconda domanda che mi interessa di piò.
Infatti io risponderei negativamente ma con un controesempio eccessivamente complicato: preso \(M=\mathbb{R}\), ritengo non possa essere vero che \(\text{End}(\mathbb{R}, +)\) sia isomorfo ad \(\mathbb{R}\) perché nel primo anello esistono elementi non nulli e non invertibili. Per costruire un esempio però devo necessariamente considerare una base di \(\mathbb{R}\) come \(\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale, diciamo \(\{x_0, x_j \mid j \in J\}\), per poi definire una mappa \(\eta\) tale che
\[\eta(x_0)=1,\ \eta(x_j)=0, \qquad \forall j\]
estesa ad \(\mathbb{R}\) per \(\mathbb{Q}\)-linearità. Una funzione siffatta è additiva, ma non \(\mathbb{R}\)-lineare, essendo quindi un esempio piuttosto sofisticato (ne parlammo qui con ViciousGoblin, Fioravante e Thomas). Come fare per costruire un esempio più semplice?
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(*) "Anello" sta per "anello unitario".
Vorrei proporre un simpatico problemino pescato sul primo volume di Jacobson, terzo capitolo. Si parla di endomorfismi di gruppi abeliani: precisamente, dato un gruppo abeliano \((M, +)\), chiamiamo \(\text{End}(M)\) l'insieme delle mappe additive di \(M\) in sé dotato di struttura di anello[size=80](*)[/size] con \((\xi+\eta)(x)=\xi(x)+\eta(x), (\xi \eta)(x)=(\xi\circ \eta)(x)\).
In certi casi \(M\) è dotato di struttura di anello esso stesso, nel qual caso può capitare che \(\text{End}(M)\) e \(M\) siano anelli isomorfi: ad esempio ciò capita con \(M=\mathbb{Z}\) identificando una mappa additiva \(\eta\) con \(\eta(1)\). Jacobson pone la domanda: è sempre questo il caso? Cosa si può dire se \(M\) è un campo?
Io credo che entrambe le risposte siano negative. Un controesempio alla prima domanda mi pare possa essere \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) (somma e prodotto componente per componente): \(\text{End}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +)\) è (isomorfo a) l'anello delle matrici di interi 2x2, il cui gruppo additivo ha rango 4 (=numero minimo di generatori), mentre il gruppo additivo di \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) ha rango 2. Ma è la seconda domanda che mi interessa di piò.
Infatti io risponderei negativamente ma con un controesempio eccessivamente complicato: preso \(M=\mathbb{R}\), ritengo non possa essere vero che \(\text{End}(\mathbb{R}, +)\) sia isomorfo ad \(\mathbb{R}\) perché nel primo anello esistono elementi non nulli e non invertibili. Per costruire un esempio però devo necessariamente considerare una base di \(\mathbb{R}\) come \(\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale, diciamo \(\{x_0, x_j \mid j \in J\}\), per poi definire una mappa \(\eta\) tale che
\[\eta(x_0)=1,\ \eta(x_j)=0, \qquad \forall j\]
estesa ad \(\mathbb{R}\) per \(\mathbb{Q}\)-linearità. Una funzione siffatta è additiva, ma non \(\mathbb{R}\)-lineare, essendo quindi un esempio piuttosto sofisticato (ne parlammo qui con ViciousGoblin, Fioravante e Thomas). Come fare per costruire un esempio più semplice?
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(*) "Anello" sta per "anello unitario".
Risposte
Sarà che da un pò lavoro coi campi finiti: hai provato con \(GF(4)\) come \(GF(2)\)-spazio vettoriale?
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\(GF(n)\)= Galois field of order \(n\)!
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\(GF(n)\)= Galois field of order \(n\)!
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