Qualche piccolo esercizio di teoria dei numeri elementare

[mickey88]

Il primo esercizio banale e' questo:
dati $a,b \in \ZZ$ coprimi tali che $ab=c^n$ mostrare che si ha $a=\pm MCD(a,c)$.

L'altro e' questo:
sia $d>1$ un intero congruo a 1 mod4 e che non contiene fattori quadrati; sia $\alpha \in \RR$ una radice di $ X^2 -X - \frac{d-1}{4} $.
Mostrare che $\ZZ[α]$ e' un sottoanello di $\RR$ di indice 2 contenente $\ZZ[√d].$

Questa parte l'ho fatta.
Mostrare poi che l'indice di $\ZZ[\sqrt{d}]^\star$ in $ \ZZ[\alpha]^\star $ e' 1 o 3.
Quest'ultima parte non so proprio come attaccarla..

[Studente Anonimo]

"mickey88": sia $\alpha \in \RR$ una radice di $ X^2 -X - \frac{d-1}{2} $

Sicuro che non sia [tex]\frac{d-1}{4}[/tex] invece?

Mostrare che $ \ZZ[\alpha] $ e' un sottoanello di $\RR$ di indice 2 contenente $\ZZ[\sqrt{d}]$.

Sicuro che non intendi dire che [tex]\mathbb{Z}[\sqrt{d}][/tex] ha indice 2 in [tex]\mathbb{Z}[\alpha][/tex] (come sottogruppo additivo)?

Attento, perché errori di trascrittura come questi (ammesso che lo siano) fanno spesso cadere l'argomento nel vuoto (cioè non risponde nessuno).

[mickey88]

Pienamente ragione, in entrambi i casi. Chiedo scusa davvero, è che un problema di javascript non mi fa vedere l'anteprima quando scrivo le formule..

[Studente Anonimo]

"mickey88":Chiedo scusa davvero, è che un problema di javascript non mi fa vedere l'anteprima quando scrivo le formule.

Puoi usare il tasto "Anteprima", è uno dei tre bottoni sotto a dove scrivi il messaggio. Inoltre ti chiedo (in qualità di moderatore) di correggere il tuo primo intervento come ti ho segnalato usando il tasto "modifica" che trovi in alto a destra nel riquadro dove sta l'intervento stesso. Oltre alle due correzioni che ti ho segnalato ti conviene dire anche che [tex]d[/tex] non è soltanto un non-quadrato ma è "square-free", libero da quadrati, cioè nessun quadrato diverso da 1 lo divide. Inoltre potresti specificare che per [tex]A^{\ast}[/tex] intendi il gruppo delle unità dell'anello [tex]A[/tex] (la notazione non è uniforme in questo caso). Grazie.

Mostrare poi che l'indice di $\ZZ[\sqrt{d}]^\star$ in $ \ZZ[\alpha]^\star $ e' 1 o 3.
Quest'ultima parte non so proprio come attaccarla..

Considera il quoziente [tex]G := \mathbb{Z}[\alpha]^{\ast}/\mathbb{Z}[\sqrt{d}]^{\ast}[/tex]. Vuoi mostrare che [tex]|G| \in \{1,3\}[/tex]. L'unico metodo che mi viene in mente per ora è quello "contaccioso", passando attraverso il seguente facile lemmino:

Lemma. Sia [tex]G[/tex] un gruppo tale che:
(a) per ogni [tex]g \in G[/tex], [tex]g^3=1[/tex];
(b) per ogni [tex]1 \neq g \neq h \neq 1[/tex] in [tex]G[/tex], [tex]gh=1[/tex].
Allora [tex]|G| \in \{1,3\}[/tex].

Si tratta di fare un po' di conti (verificare (a) e (b) per il tuo quoziente), ma alla fine ne esci.

[Stickelberger]

Sicuro che non intendi scrivere che $a=\pm MCD(a,c)^n$?