Qualche esercizio dall'Hestein
Ho ripreso quel libro e ho cominciato a svolgere tutti gli esercizi, se qualcuno può controllare le soluzioni di alcuni gliene sarei molto grato(ma non troppo 
)
1. Se \(G\) è un gruppo nel quale \((ab)^i = a^i b^i\) per tre interi \(i\) consecutivi e per ogni coppia di elementi \(a, b \in G\) allora \(G\) è abeliano.
2. Sia \(G\) il gruppo delle matrici \(2 \times 2\) \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), sono interi modulo \(p\), \(p\) un numero primo, e tali che \(ad - bc \neq 0\). Qual'è l'ordine di \(G\)?
3. Sia \(G\) un gruppo finito di ordine non divisibile per \(3\), e sia \((ab)^3 = a^3 b^3\) per tutti gli \(a, b \in G\). Dimostrare che \(G\) è abeliano.
Mi sono infine chiesto se il risultato fosse generalizzabile, usando gli stessi passaggi ho dimostrato che se \(G\) è un gruppo di ordine non divisibile per \(n\) e \(n-1\) tale che \((ab)^n = a^n b^n\) allora ci sono tre numeri consecutivi per cui \((ab)^i = a^i b^i\), in particolare per il primo problema è abeliano. Si può evitare la condizione di divisibilità per \(n-1\)?
)1. Se \(G\) è un gruppo nel quale \((ab)^i = a^i b^i\) per tre interi \(i\) consecutivi e per ogni coppia di elementi \(a, b \in G\) allora \(G\) è abeliano.
2. Sia \(G\) il gruppo delle matrici \(2 \times 2\) \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), sono interi modulo \(p\), \(p\) un numero primo, e tali che \(ad - bc \neq 0\). Qual'è l'ordine di \(G\)?
3. Sia \(G\) un gruppo finito di ordine non divisibile per \(3\), e sia \((ab)^3 = a^3 b^3\) per tutti gli \(a, b \in G\). Dimostrare che \(G\) è abeliano.
Mi sono infine chiesto se il risultato fosse generalizzabile, usando gli stessi passaggi ho dimostrato che se \(G\) è un gruppo di ordine non divisibile per \(n\) e \(n-1\) tale che \((ab)^n = a^n b^n\) allora ci sono tre numeri consecutivi per cui \((ab)^i = a^i b^i\), in particolare per il primo problema è abeliano. Si può evitare la condizione di divisibilità per \(n-1\)?
Risposte
"hyoukarou":Perché?
...se qualcuno può controllare le soluzioni di alcuni gliene sarei molto grato(ma non troppo
[list=1]
[*:1exok9nm]OK
[/*:m:1exok9nm][*:1exok9nm]No
[/*:m:1exok9nm]
[*:1exok9nm]
[/*:m:1exok9nm][/list:o:1exok9nm]
"j18eos":
Non è vero!
Umh.. perché no? Devono essere entrambi non-nulli quindi possono assumere \(p-1\) valori ciascuno, da cui \((p-1)^2\), oppure si trova prima il numero di valori per cui è nullo(\(2p-1\)) dunque \(p^2 - (2p-1) = (p-1)^2\)
Edit.
Alternativamente, sia \(ad = t = bc \neq 0\), siccome siamo in modulo \(p\) abbiamo che \(ad = t\) con "\(t\) un numero fisso diverso da zero" ha \(p-1\) soluzioni, altrettante \(bc = t\), inoltre \(t\) può assumere \(p-1\) valori da cui \((p-1)^3\)
"j18eos":
Senza cambiare i tuoi nomi: perché \(\displaystyle\varphi\) è iniettiva?
Perché il nucleo ha come unico elemento l'identità, se \(g \neq id\), \(g^3 = id\) allora avremmo un sottogruppo ciclico di ordine \(3\) cosa impossibile per il teorema di Lagrange.
"hyoukarou":No
...Devono essere entrambi non-nulli...
Stai affermando che le matrici invertibili sui campi fondamentali finiti hanno solo entrate non nulle!
"j18eos":
Stai affermando che le matrici invertibili sui campi fondamentali finiti hanno solo entrate non nulle!
Ammetto di averlo scritto male, comunque quello è il caso in cui il prodotto è non-nullo(quindi i fattori sono non-nulli perchè \(p\) è primo), dopo ho fatto separatamente il caso in cui è nullo(comincia da "Ora se lhs..") e alla fine ho sommato quelle in cui è non-nullo e quelle in cui è nullo
Il 2 e il 3 mi sembrano giusti.
Direi che ora la conclusione segue da
\[
ababP = (ab)^{i+2} = a^{i+2} b^{i+2} = a^2 a^i b^i b^2 = a^2 P b^2 = a^2 b^2 P
\]
Cancellando troviamo [tex]ab=ba[/tex].
"hyoukarou":Mi sembra che la conclusione sia affrettata, hai ottenuto che [tex]P[/tex] commuta con [tex]b[/tex], nient'altro. Il tuo [tex]b[/tex] non è libero di variare, l'hai usato per definire [tex]P[/tex].
Sia \((ab)^i = P\), sappiamo che \(aPb = a^{i+1}b^{i+1} = (ab)^{i+1} = (ab)P\) dunque cancellando la \(a\) si ottiene \(Pb = bP\) ovvero \(P \in Z(G)\).
Direi che ora la conclusione segue da
\[
ababP = (ab)^{i+2} = a^{i+2} b^{i+2} = a^2 a^i b^i b^2 = a^2 P b^2 = a^2 b^2 P
\]
Cancellando troviamo [tex]ab=ba[/tex].
Io ragiono così, poi vedi se riesci a proseguire: fissi la prima riga non nulla, quindi hai \(\displaystyle p^2-1\) possibilità!
Dovendo scegliere la seconda riga...
Alla fine ti ritrovi che il risultato è \(\displaystyle(p^2-1)(p-1)p\)!
Dovendo scegliere la seconda riga...
Alla fine ti ritrovi che il risultato è \(\displaystyle(p^2-1)(p-1)p\)!
Osservo solo che
"hyoukarou":
Quindi sommando \(|G| = p^4 - (p-1)^3 - (2p-1)^2\)
"j18eos":sono uguali.
Alla fine ti ritrovi che il risultato è \( \displaystyle(p^2-1)(p-1)p \)
@Martino Ma non è la formula in sé, è proprio il ragionamento che non mi convince! 
@hyoukarou Forse se mi spieghi cosa intendi con quegli acronimi può essere che veda qualche dettaglio in più...
@hyoukarou Forse se mi spieghi cosa intendi con quegli acronimi può essere che veda qualche dettaglio in più...
Scusate se rispondo in ritardo, sono un po' impegnato ultimamente.
@Martino, grazie, mi sono accorto dell'errore nel 1.
Lhs di un'equazione sarebbe l'espressione che si trova a sinistra(left hand side), rhs l'espressione di destra.
Comunque riscrivo la soluzione.
Abbiamo \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}_p\) e dobbiamo trovare il numero di soluzioni di \(ad - bc \neq 0\).
Ora esistono \(p^4\) quaterne \((a, b, c, d)\), e per ogni quaterna abbiamo che \(ad - bc = 0\) (exclusive or) \(ad - bc \neq 0\), perciò il numero di soluzioni della seconda equazione è uguale a \(p^4\) meno il numero di soluzioni della prima equazione.
Cerchiamo dunque il numero di soluzioni di \(ad - bc = 0 \rightarrow ad = t = bc\).
Distinguiamo due casi, \(t \neq 0\) oppure \(t = 0\).
Caso 1. \(t\) può assumere \(p-1\) valori, e dato un determinato \(t\) abbiamo \(p-1\) coppie \((a, d)\) per cui \(ad =t\) (puoi vederla come equazione di primo grado modulo \(p\) primo), analogamente \(p-1\) coppie \((b, c)\), pertanto il numero di soluzioni di \(ad = bc\) con \(ad \neq 0\) sono \((p-1)^3\).
Caso 2. Troviamo prima il numero di soluzioni di \(ad = 0\). Esse sono tutte e solo quelle in cui almeno uno dei due fattori è \(0\) (siamo modulo un numero primo). Quindi sono le coppie \((0, b)\) con \(b \neq 0\), le coppie \((a, 0)\) con \(a \neq 0\) e infine \((0, 0)\), in totale sono dunque \((p - 1) + (p - 1) + 1 = 2p - 1\). Analogamente avviene per \((b, c)\), quindi ci sono \((2p -1)^2\) quaterne che soddisfano \(ad = bc = 0\).
Quindi il numero di soluzioni di \(ad - bc = 0\) è \((p-1)^3 + (2p - 1)^2\).
Infine il numero di soluzioni di \(ad - bc \neq 0\) è \(p^4 - (p-1)^3 - (2p-1)^2\), che è anche l'ordine del gruppo.
OT.
@Martino, grazie, mi sono accorto dell'errore nel 1.
"j18eos":
@hyoukarou Forse se mi spieghi cosa intendi con quegli acronimi può essere che veda qualche dettaglio in più...
Lhs di un'equazione sarebbe l'espressione che si trova a sinistra(left hand side), rhs l'espressione di destra.
Comunque riscrivo la soluzione.
Abbiamo \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}_p\) e dobbiamo trovare il numero di soluzioni di \(ad - bc \neq 0\).
Ora esistono \(p^4\) quaterne \((a, b, c, d)\), e per ogni quaterna abbiamo che \(ad - bc = 0\) (exclusive or) \(ad - bc \neq 0\), perciò il numero di soluzioni della seconda equazione è uguale a \(p^4\) meno il numero di soluzioni della prima equazione.
Cerchiamo dunque il numero di soluzioni di \(ad - bc = 0 \rightarrow ad = t = bc\).
Distinguiamo due casi, \(t \neq 0\) oppure \(t = 0\).
Caso 1. \(t\) può assumere \(p-1\) valori, e dato un determinato \(t\) abbiamo \(p-1\) coppie \((a, d)\) per cui \(ad =t\) (puoi vederla come equazione di primo grado modulo \(p\) primo), analogamente \(p-1\) coppie \((b, c)\), pertanto il numero di soluzioni di \(ad = bc\) con \(ad \neq 0\) sono \((p-1)^3\).
Caso 2. Troviamo prima il numero di soluzioni di \(ad = 0\). Esse sono tutte e solo quelle in cui almeno uno dei due fattori è \(0\) (siamo modulo un numero primo). Quindi sono le coppie \((0, b)\) con \(b \neq 0\), le coppie \((a, 0)\) con \(a \neq 0\) e infine \((0, 0)\), in totale sono dunque \((p - 1) + (p - 1) + 1 = 2p - 1\). Analogamente avviene per \((b, c)\), quindi ci sono \((2p -1)^2\) quaterne che soddisfano \(ad = bc = 0\).
Quindi il numero di soluzioni di \(ad - bc = 0\) è \((p-1)^3 + (2p - 1)^2\).
Infine il numero di soluzioni di \(ad - bc \neq 0\) è \(p^4 - (p-1)^3 - (2p-1)^2\), che è anche l'ordine del gruppo.
OT.
Se risolvo qualche altro problema dall'Hestein e non sono sicuro della soluzione posso chiedere sempre in questo thread o ne devo aprire un altro?Meglio aprirne un altro
anche se il libro è lo stesso gli esercizi sono diversi.
Ok
Ora il ragionamento mi convince. : )
Ora il ragionamento mi convince. : )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo