Qualche domanda sui campi finiti
Ciao 
Ho qualche domanda sui campi finiti:
1)E' vero che $\mathbb{F_{p^n}}$ $\tilde$ $ \mathbb{Z_p[x]}//(f(x))$ dove $((f(x))$ è l'ideale generato da un qualsiasi polinomio irriducibile monico di grado $n$? Perché ho letto che fra i polinomi irriducibili vi è una classe di polinomi detti primitivi, le cui radici generano il gruppo moltiplicativo $\mathbb{F_{p^n}}^**$, dunque mi chiedo: se $f(x)$ è irriducibile e non primitivo e $\mathbb{F_{p^n}}$ $\tilde$ $ \mathbb{Z_p[x]}//(f(x))$ allora come trovo un generatore? Di certo non è una radice di $f(x)$, poiché non è primitivo... dunque? Vado a tentativi?
2)Supponiamo di essere in $\mathbb{F_{p}}[x]$, voglio scomporre $x^{p^n} - x$, so che tale polinomio ha come campo di spezzamento $\mathbb{F_{p^n}}$, di conseguenza, dato che $\mathbb{F_{p^n}}$ è anche campo di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili di grado $n$ in $\mathbb{F_p}[x]$ deduco che $x^{p^n} - x$ ha come fattori tutti i polinomi monici irriducibili di grado $n$ in $\mathbb{F_p}[x]$. Anzi, dirò di più: $x^{p^n} - x$ si spezza in $\mathbb{F_p}[x]$ come prodotto di polinomi irriducibili di grado $m$ dove $m|n$ perché tutti e soli i sottocampi(che sono di spezzamento) di $\mathbb{F_{p^n}}$ sono del tipo $\mathbb{F_{p^m}}$ dove $m|n$. E' corretta come deduzione? E come argomentazione?
3)Contiamo i polinomi di grado $2$ in $Z_p[x]$! So che $x^{p^2} - x$ ha come fattori tutti i polinomi irriducibili di grado $2$, inoltre ha come radici tutti gli elementi di $Z_p$, dunque ho qualcosa come $x^{p^2} - x = \prod_{i=0}^{p-1} (x-i) * \prod_{k} p_k(x)$ dove $p_k(x)$ è un polinomio irriducibile di grado $2$ in $\mathbb{Z_p}$. Ragionando sul grado si ha che $p^2 = p + 2h$ dove $h$ è il numero di polinomi di grado $2$, dunque ho che $h = \frac{p^2 - p}{2}$. Che dite va bene come ragionamento? E se volessi contare i polinomi primitivi di grado $2$? Avete qualche idea?
Ho qualche domanda sui campi finiti:
1)E' vero che $\mathbb{F_{p^n}}$ $\tilde$ $ \mathbb{Z_p[x]}//(f(x))$ dove $((f(x))$ è l'ideale generato da un qualsiasi polinomio irriducibile monico di grado $n$? Perché ho letto che fra i polinomi irriducibili vi è una classe di polinomi detti primitivi, le cui radici generano il gruppo moltiplicativo $\mathbb{F_{p^n}}^**$, dunque mi chiedo: se $f(x)$ è irriducibile e non primitivo e $\mathbb{F_{p^n}}$ $\tilde$ $ \mathbb{Z_p[x]}//(f(x))$ allora come trovo un generatore? Di certo non è una radice di $f(x)$, poiché non è primitivo... dunque? Vado a tentativi?
2)Supponiamo di essere in $\mathbb{F_{p}}[x]$, voglio scomporre $x^{p^n} - x$, so che tale polinomio ha come campo di spezzamento $\mathbb{F_{p^n}}$, di conseguenza, dato che $\mathbb{F_{p^n}}$ è anche campo di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili di grado $n$ in $\mathbb{F_p}[x]$ deduco che $x^{p^n} - x$ ha come fattori tutti i polinomi monici irriducibili di grado $n$ in $\mathbb{F_p}[x]$. Anzi, dirò di più: $x^{p^n} - x$ si spezza in $\mathbb{F_p}[x]$ come prodotto di polinomi irriducibili di grado $m$ dove $m|n$ perché tutti e soli i sottocampi(che sono di spezzamento) di $\mathbb{F_{p^n}}$ sono del tipo $\mathbb{F_{p^m}}$ dove $m|n$. E' corretta come deduzione? E come argomentazione?
3)Contiamo i polinomi di grado $2$ in $Z_p[x]$! So che $x^{p^2} - x$ ha come fattori tutti i polinomi irriducibili di grado $2$, inoltre ha come radici tutti gli elementi di $Z_p$, dunque ho qualcosa come $x^{p^2} - x = \prod_{i=0}^{p-1} (x-i) * \prod_{k} p_k(x)$ dove $p_k(x)$ è un polinomio irriducibile di grado $2$ in $\mathbb{Z_p}$. Ragionando sul grado si ha che $p^2 = p + 2h$ dove $h$ è il numero di polinomi di grado $2$, dunque ho che $h = \frac{p^2 - p}{2}$. Che dite va bene come ragionamento? E se volessi contare i polinomi primitivi di grado $2$? Avete qualche idea?
Risposte
Sì hai detto tutte cose ragionevoli.
Quanto alla tua ultima domanda penso che farei così: i polinomi primitivi di grado 2 sono i fattori del polinomio ciclotomico $p^2-1$-esimo quindi ce ne sono $\varphi(p^2-1)//2$. In altre parole stai prendendo coppie di generatori di un gruppo ciclico di ordine $p^2-1$.
Quanto alla tua ultima domanda penso che farei così: i polinomi primitivi di grado 2 sono i fattori del polinomio ciclotomico $p^2-1$-esimo quindi ce ne sono $\varphi(p^2-1)//2$. In altre parole stai prendendo coppie di generatori di un gruppo ciclico di ordine $p^2-1$.
"Martino":
Sì hai detto tutte cose ragionevoli.
Quanto alla tua ultima domanda penso che farei così: i polinomi primitivi di grado 2 sono i fattori del polinomio ciclotomico $p^2-1$-esimo quindi ce ne sono $\varphi(p^2-1)//2$. In altre parole stai prendendo coppie di generatori di un gruppo ciclico di ordine $p^2-1$.
Ciao, grazie della risposta
Uhm capito, applicando lo stesso ragionamento si ha che il numero di polinomi primitivi di grado $n$ in $Z_p[x]$ è $\frac{\varphi(p^n - 1)}{n}$ cioè prendo le $n$-uple di generatori di un gruppo ciclico e ogni $n$-upla contiene le $n$ radici di un polinomio primitivo. Giusto?
Un'altra domanda: esiste un modo astratto per dimostrare se un polinomio è primitivo? C'è una classificazione o un sistema di invarianti completo al riguardo? Ci sono delle classi speciali di polinomi primitivi?
Non sono riuscito a trovare molto sul web, se non articoli che al momento non posso comprendere appieno.
Edit: rispondendo a un altro thread mi sono accorto di una cosa... Siamo in $Z_2[x]//(x^3 + x + 1) ~= \mathbb{F_{p^8}}$ adesso tale campo è anche campo di spezzamento di $x^8 - x$, il quale ha delle radici in comune con $x^3 + x + 1$ quindi ogni radice del suddetto polinomio soddisfa l'uguaglianza $x^7 = 1$, dato che $7$ è primo allora l'ordine di una radice $\alpha$ del polinomio o è $1$ o è $7$ e dato che $1$ non è radice di $x^3 + x + 1$ deduco che $\alpha$ ha ordine $7$ e quindi il polinomio è primitivo. Ma quindi un primo risultato potrebbe essere che se $p^n - 1$ è primo allora ogni polinomio irriducibile di grado $n$ in $Z_p[x]$ è primitivo. Che dici?
Ciao!
Se non prendo abbagli si tratta di fattorizzare modulo p il polinomio ciclotomico $p^n-1$-esimo. I suoi fattori irriducibili sono i polinomi primitivi. Non so se ti ho risposto.
"Martino":
Se non prendo abbagli si tratta di fattorizzare modulo p il polinomio ciclotomico $p^n-1$-esimo. I suoi fattori irriducibili sono i polinomi primitivi. Non so se ti ho risposto.
Perfetto, grazie! Approfondirò la questione, non so molto sui polinomi ciclotomici.
Grazie Martino
Prego
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